数学徘徊記

自由な数学ブログ。

寮のバスケ大会で数学を見つけた話

背景 寮の行事で、バスケットボール大会がありました。4チームに分けて、総当たり戦で競います。学校の体育館を借りて試合を行ったのですが、 その体育館はコートを2つ作れます。 つまり、同時に2試合行えます。4チームでの総当たり戦なので、合計6試合とな…

数ぽよ用フォーラム

数ぽよ用のフォーラムを作りました! なんと!TeX対応です!(\(と\)で囲んでください) http://supoyo.forumotion.asia/forum広告からウイルスが入るらしいのでいったん閉鎖します

黒峰問題

追記:ミスを直しました。黒峰問題とは \(2^x+3^y+5=z^3\)の非負整数解\((x,y,z)\)をすべて求めよ。という問題で、まだ未解決です。 (1,0,2),(5,3,4)という2つの解は見つかっていますが、他は見つかっていません。ここは略しますが、奇遇やmod 4, 7, 9で考え…

数式お絵かきでサーバルともう1匹描いてみたよ(本編)

上の動画には載せなかったことを中心に書きます。 目 一番苦労したのは目の部分です。 不等式にすることで黒く塗りつぶしているわけです。 右目 \(-0.14957x^2-0.08395y^2+0.01615xy+0.37445x+0.50634y-1\ge 0 \\ \left\{-0.03332x^2-0.02929y^2-0.16734xy+0…

問題コーナー(第3回)解答

この問題は難しかったかと思います。 15°って割と使うのが難しいんですよね。しかも27°という数字まであります。 解答です。 用意していた解答 この解答はやや複雑です。角の二等分線定理を使います。 まず、図のように点とおきます。 そして、の延長にとな…

円に内接もするし外接もする四角形

円に内接する四角形ってありますよね。 よく図形の問題を解いていると出てきます。逆に、円に外接する四角形っていうのもありますよね。 こちらはあまり問題では見かけませんが。確かにあります。では、 「円に内接もするし外接もする四角形」 とはどのよう…

問題コーナー(第三回)

解けたらコメントでも大丈夫なので、解答をお待ちしております。

最近解いたEGMOの良問(2017年のEGMO日本代表一次選抜試験の問題2)

最近解いた問題で、結構良問だったので紹介します。 2017年のEGMO日本代表一次選抜試験の問題2です。 問題 数列をと定める。 このとき、次の条件を満たす素数が無数に存在することを示せ。 条件:の中にの倍数が存在する。 問題解説 問題をわかりやすく解説…

arctanの無限和の問題

近畿大学主催の数学コンテストの過去問に,面白いものがあった. 第13回,B-3の問題である. を示せ.arctanはtanの逆関数のことだが….arctanのなかにってどうやって計算するんだ,て感じである.この問題を解くために,まずはこのarctanの公式を説明する. この証明…

2017をn進法で書き表したら各桁の和がn

鯵坂もっちょさんのこのツイートが気になったので、考察してみました。そもそも10進法2017の各桁の和も10だしn進法2017各桁の和がnになるのはほかにも10,19,22,25,29,33,37,43,49,57,64,73,85,97,113,127...といっぱいある けど2018には一つもない! ふしぎ…

#だま氏の謎

来年の年賀状は何か変わったことをしたいなと思い、この企画をしました。 2017年賀状特設ページ!#だま氏の謎 です。これは、だま氏が5つの謎を提示し、みんなに集団知で解いてもらうという企画です。どれだけ早く解かれてしまうか楽しみです。ルール 相談…

半年ぐらい前に考えた問題がやっと解けた。

半年ぐらい前に考えた問題ですが、やっと解けました。 su-hai.hatenablog.com これです。解答 任意の奇数について、その倍数で各桁がすべて奇数となるようなものが存在することを示す。任意の奇数を(ただしは5の倍数でない奇数)とおく。まず、次の補題を示…

2017JJMO本選模試を解いてみよう(後半)

JJMO本選模試です!例年よりは多少簡単なレベルだと思います。RT希望 pic.twitter.com/Lpke3aRQoM— だま氏 (@dama_math) 2016年11月20日 では、問4と問5の解答です。 問4 これは、点を置けるかどうかがカギになります。 所見でとれたらスゴいです。 解答 対…

2017JJMO本選模試を解いてみよう(前半)

だま氏@dama_math JJMO本選模試です!例年よりは多少簡単なレベルだと思います。RT希望 https://t.co/Lpke3aRQoM 2016/11/20 18:48:41 というわけで解説します。今日は問1から問3まで。 今思えば少し簡単すぎた…。 問1 2016年の問1は、問1のくせに簡単ではな…

ブログ移転しました。

ブログをlivedoorからhatenaに移転しました。引き続きよろしくお願いします。

問題コーナー(第2回)解答

では解答発表です。三角形\(ABC\)の外心を\(O\)とし、辺\(BC,CA,AB\)の中点をそれぞれ\(M_A,M_B,M_C\)とする。このとき三角形\(AOM_A,BOM_B,COM_C\)の外接円は点\(O\)以外の1点で交わることを示せ。円に関する反転を用いた解法です。点\(M_A,M_B,M_C\)をそれ…

マスターデーモンに挑戦

数学界で「マスターデーモン」というともうあれしかない、恐ろしい奴です。 1990 IMO 問3 \(\cfrac{2^n+1}{n^2}\)が整数となるような1より大きい整数\(n\)をすべて求めよ。 見た目はシンプルで、中学生も簡単に理解できる問題なのに、世界中の高校生を悩ませ…

LTEの補題

更新が遅れました。学園祭、定期試験などあり、少し忙しかったので。。。すいません。LTEといっても、Long Term Evolution(携帯電話の通信規格)ではありません。 Lifting The Exponent Lemmaです。これは整数論の定理で、痒いところに手が届くような便利な…

ブログを初めて1年。

ブログを初めて約1年がたちました。早かったような、短かったような…。これからも徘徊していく予定です。

問題コーナー

ほんっと久しぶり。前は12月だったかな。なんとなく三角形や円を描いていたらできた問題。僕の解き方だとまだ回りくどいと思うので、エレガントな解答をお願いします。簡単だったらごめんなさいm(_ _)mというわけで、早速問題。三角形\(ABC\)の外心を\(O\)と…

平方剰余の相互法則の証明(6)

これがラスト。更新が遅れてしまったが、平方剰余の相互法則を証明しよう。 \(p,q\)を互いに異なる奇素数とする。そのとき、\[\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}\]が成り立つ。 これは格子を使った照明が…

広中杯2016ファイナル3問目

この問題、本番では全然解けず、しかし家でやってみたら解けてしまったという悔しい問題。問題へこみのない四角形ABCDの対角線ACとBDは点Eにおいて垂直に交わっていて、∠EBC=12°, ∠EAB=∠CDE=33°, BE+EC=1となっている。このとき、△ABEの面積と△CDEの面積の差…

平方剰余の相互法則の証明(5)

今回は平方剰余の相互法則を証明する前に、補充法則を証明する。第1補充法則\[\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}}\]第2補充法則\[\left(\frac{2}{p}\right)=(-1)^{\frac{p^2-1}{8}}\]また、これは名前がついているかわからないのだが、重要な…

平方剰余の相互法則の証明(4)

補題3(ガウスの予備定理)\(p\)を奇素数、\((a,p)=1\)とする。このとき\[1\cdot a,2\cdot a,\cdots ,\frac{p-1}{2}\cdot a\]のうち、\(p\)で割った余りが\(\frac{p}{2}\)より大きいものの個数を\(n\)とするとき、\[\left(\frac{a}{p}\right)=(-1)^n\]が成立…

平方剰余の相互法則の証明(3)

つぎに、平方剰余に関する次の補題を証明する。これは「オイラーの基準」と呼ばれている。補題2\[\left(\cfrac{a}{p}\right)\equiv a^{\frac{p-1}{2}} \pmod p\]これはかなりきれいな式といえるだろう。証明以下、合同式はすべて \(p\) を法としたものである…

平方剰余の相互法則の証明(2)

まずこの補題を証明する。この補題は、平方剰余の相互法則だけではなく、いろいろな定理の補題としてよく使われる定理である。補題1:\(p\)を素数とする。そのとき、\(n\)次合同方程式\[f(x)\equiv 0 \pmod p \hspace{1cm}\cdots (1) \]は解をもってもその個…

平方剰余の相互法則の証明(1)

あ、最近整数論やってない…。というわけで整数論の記事を書く。今回はシリーズものにする。題して「平方剰余の相互法則シリーズ」である。まず、平方剰余の相互法則を語るうえで必要な記号について説明する。\(p\)を奇素数、\(a\)を\(p\)と互いに素な整数と…

広中杯2016トライアル受けてきた

広中杯2016トライアル受けてきた。ファイナルは用事があるため残念ながらいけない。問題を公表するのはなんかモラルに反しそうなので、やめておく。I-(1)「クマモトガンバレ」の文字が。問題作成者の声が聞こえた。場合分けすれば簡単。I-(2)「1以下」を見落…

等角共役点の証明

等角共役点とはこのようなものだ。等角共役点:三角形ABCと点 P がある。角の頂点を通る直線 l と角の二等分線に関して対称な直線 m を l の等角共役線という。AP,BP,CP の等角共役線は一点で交わり,これを P の等角共役点という。この、「一点で交わる」と…

円の反転とオイラーの不等式

オイラーの不等式とは、三角形ABCにおいて、外接円の半径をR、内接円の半径をrとおくとR≧2rが成り立つ。というものである。これの円の反転を使ったきれいな証明を見つけたので、書いておく。まず次の補題を使う。補題:半径の等しい3つの円が1点で交わるとき…

ハフマン符号をExcelでやってみる

最近「なんでファイルが圧縮できるんだ?」って思ったので、Wikipediaでいろいろ調べてみると、「ハフマン符号」というものがあった。ハフマン符号 - Wikipediaどういうものかは上の記事を見てもらえばわかる。やはり自分は「Excelでやってみたいなあ」と思…

2015ジュニア広中杯の問題について

2015年ジュニア広中杯の問題4番。2015の倍数で、どの桁の数字も奇数であるものを一つ求めよ。ただし、12桁以内のものに限る。という問題があった。答えを言ってしまうと、最少は155155(=2015x77)、次は179335(=2015x89)である。この問題、桁数を8桁までとし…

昔、線を引いて遊んだこと。

初めての代数編。昔、こんな感じで線を引いて遊んだことがあるのだが…。0と1、0.1と0.9、0.2と0.8、…と線を結んでいくと、なんだか曲線が見えてくる。直線が曲線を作るのは、かなり不思議である。で、中1の時にこんなことが疑問に思った。「この曲線はどの…

2016JJMO本選第4問

これは本番中全然解けなかったものの、そのあと2週間後に解けた問題である。なかなか面白かった。財団が用意していた解答例と違ったので、書く。問題鋭角三角形ABCにおいて、垂心をH、外心をOとする。また、Oを通り直線に平行な直線とAB、ACの交点をそれぞ…

2016年JJMOを受けてきた

やはり数学好きとしてはジュニア数学オリンピック (JJMO) を受けておきたい。まだ中2なので、入賞すれば上出来、そうでなくても予選通過はしたいと思って臨んだ。予選問題は、下記のリンクから。http://www.imojp.org/challenge/old/jjmo14yq.html予選は割と…

問題コーナー(第1回)解答

この問題は意外な答えになります。問題三角形ABCがある。辺BC上にAB=PCとなる点Pを取ったところ、角PAB=角ACBとなった。このとき、角ABCを求めよ。ただし角ABCは鈍角(90度より大きい)とする。1:正弦定理による解答△PBA∽△ABCよりBP:BA=BA:(BP+PC),BP(BP+PC…

Excelで2次関数だけを因数分解

2次関数だけを因数分解するものを作ったinsubunkai.xlsx(上のリンクを右クリックして、「リンク先を保存」として保存してください。)

問題コーナー 第1回(追加)

問題コーナー第1回、正直、正弦定理で余裕に解けると思っていませんか?実際そうなんですが…。実は、この問題は初等幾何でも解けるんです!考えてみてください!

問題コーナー 第1回

問題コーナーを作りました。記念すべき第1回なので、自作の問題(自分では良問と思っている)を載せます。問題三角形ABCがある。辺BC上にAB=PCとなる点Pを取ったところ、角PAB=角ACBとなった。このとき、角ABCを求めよ。ただし角ABCは鈍角(90度より大きい…

5882353について

5882353は面白い特徴を持った数で、5882353=5882+23532がなりたつ。一見しただけでは普通のテキトーな数にしか見えないので、よけいに不思議である。もちろん、同じような数を見つけたくなる。\(x^2+y^2=10^nx+y\)(\(x,y,n\)は自然数、\(10^n>y\))について…

x^2+y^2=n(z^2)の自然数解(2)

前回分はこちらx^2+y^2=n(z^2)の自然数解(1)ここから、\(n\)を一般的にして考えてみる。途中の式変形から考えると、\(n\)が2個の平方数の和で表されるとき、\(x^{2}+y^{2}=nz^{2}\)の解は無数に存在するのでは?検証しよう。\(n=a^2+b^2\)(\(a,b\)は自然数)…

x^2+y^2=n(z^2)の自然数解(1)

\(x^{2}+y^{2}=z^{2}\) はみんな知っている。この自然数解は \((a^{2}-b^{2},2ab,a^{2}+b^{2})\) の形で表され、無数にあるのは有名だが(ピタゴラス数) \(x^{2}+y^{2}=nz^{2}\) ( \(n\) は自然数)の自然数解は、 \(n\) がどんな時に存在するのか?と言う…

準完全数は存在するか?

なぜこんなことを考えたのか?僕の友達が考えた問題だが、約数の和が 2n + 1 に等しい数 n を準完全数と呼ぶことにする。このとき、準完全数は存在しない。という問題を出してきた。友達は200までやって、なかったらしい。ああ!何としても見つけたい!(`・ω…

ユークリッドの補題の証明

まず、ユークリッドの補題とは…。素数\(p\)が\(ab\)を割り切るなら,\(p\)は\(a\)か\(b\)のいずれか一方を割り切る。という、当たり前だろ!?( ・Д・)という定理。しかしこれ、証明がかなり回りくどい…。なかなか完全な証明を書いていないところが多かった…

Excelで2048

Excelであのスマホゲーム、2048を作成しました。 ダウンロードはこちら 僕はExcelでいろいろなゲームを作ったり、数学の計算用として使ったりしていますが…。 その中で「2048」はExcelにぴったりだったので、作ってみました。 New Gameボタンを押すと、キー…

エルデシュ・シュトラウス予想の考察

エルデシュ・シュトラウス予想とは…。n を n>2 を満たす自然数とするとき、\( \cfrac{4}{n}=\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}+\cfrac{1}{z}\)の自然数解(x,y,z)は必ず存在する。という予想です。これが中1の時にすごくはまってしまって…。その考察を書きます。2…

はじめに

テスト用ですが。 このブログでは主に数学、Excelなどについて書いていきます。 たぶん次の更新は9月20日ごろかな? (遅くてごめんなさい。あまり数式には慣れていないもので。) 数学の記事で、「こんな考え方もあるのか」と 少しでも参考にしていただ…