数学徘徊記

自由な数学ブログ。

JMO夏季セミに参加した。

どうも、お久しぶりです。 2か月以上更新していませんでした。夏休みの後半から文化祭にかけて結構忙しく、なかなか記事を書く時間がありませんでした。この記事では、夏休みの後半に行った夏季セミについて書こうと思います。これは公式のHPです。 jmoss.j…

数学甲子園奮闘記

メンバー構成 高2が1人、高1が3人、中3が1人の全部で5人の構成です。 友達に誘われて数学甲子園に参加しました。 予選 予選は個人戦なので、チームでも「対策は個人でやってて」みたいな感じでした。 まあ予選通過できてよかったです。後でわかったことなん…

傍心の有名な難問

有名な平面幾何の難問として, 次のようなものがあります. 図において, \(O\)は\(\triangle ABC\)の外心, \(I_A\)は角\(A\)内の傍心とする. このとき, \(EF \perp OI_A\)を証明せよ. 問題自体はシンプルですが, かなりの難問です. まず, 結ぶ線が特殊ですね. …

寮のバスケ大会で数学を見つけた話

背景 寮の行事で、バスケットボール大会がありました。4チームに分けて、総当たり戦で競います。学校の体育館を借りて試合を行ったのですが、 その体育館はコートを2つ作れます。 つまり、同時に2試合行えます。4チームでの総当たり戦なので、合計6試合とな…

数ぽよ用フォーラム

数ぽよ用のフォーラムを作りました! なんと!TeX対応です!(\(と\)で囲んでください) http://supoyo.forumotion.asia/forum広告からウイルスが入るらしいのでいったん閉鎖します

黒峰問題

追記:ミスを直しました。黒峰問題とは \(2^x+3^y+5=z^3\)の非負整数解\((x,y,z)\)をすべて求めよ。という問題で、まだ未解決です。 (1,0,2),(5,3,4)という2つの解は見つかっていますが、他は見つかっていません。ここは略しますが、奇遇やmod 4, 7, 9で考え…

数式お絵かきでサーバルともう1匹描いてみたよ(本編)

上の動画には載せなかったことを中心に書きます。 目 一番苦労したのは目の部分です。 不等式にすることで黒く塗りつぶしているわけです。 右目 \(-0.14957x^2-0.08395y^2+0.01615xy+0.37445x+0.50634y-1\ge 0 \\ \left\{-0.03332x^2-0.02929y^2-0.16734xy+0…

問題コーナー(第3回)解答

この問題は難しかったかと思います。 15°って割と使うのが難しいんですよね。しかも27°という数字まであります。 解答です。 用意していた解答 この解答はやや複雑です。角の二等分線定理を使います。 まず、図のように点とおきます。 そして、の延長にとな…

円に内接もするし外接もする四角形

円に内接する四角形ってありますよね。 よく図形の問題を解いていると出てきます。逆に、円に外接する四角形っていうのもありますよね。 こちらはあまり問題では見かけませんが。確かにあります。では、 「円に内接もするし外接もする四角形」 とはどのよう…

問題コーナー(第三回)

解けたらコメントでも大丈夫なので、解答をお待ちしております。

最近解いたEGMOの良問(2017年のEGMO日本代表一次選抜試験の問題2)

最近解いた問題で、結構良問だったので紹介します。 2017年のEGMO日本代表一次選抜試験の問題2です。 問題 数列をと定める。 このとき、次の条件を満たす素数が無数に存在することを示せ。 条件:の中にの倍数が存在する。 問題解説 問題をわかりやすく解説…

arctanの無限和の問題

近畿大学主催の数学コンテストの過去問に,面白いものがあった. 第13回,B-3の問題である. を示せ.arctanはtanの逆関数のことだが….arctanのなかにってどうやって計算するんだ,て感じである.この問題を解くために,まずはこのarctanの公式を説明する. この証明…

2017をn進法で書き表したら各桁の和がn

鯵坂もっちょさんのこのツイートが気になったので、考察してみました。そもそも10進法2017の各桁の和も10だしn進法2017各桁の和がnになるのはほかにも10,19,22,25,29,33,37,43,49,57,64,73,85,97,113,127...といっぱいある けど2018には一つもない! ふしぎ…

#だま氏の謎

来年の年賀状は何か変わったことをしたいなと思い、この企画をしました。 2017年賀状特設ページ!#だま氏の謎 です。これは、だま氏が5つの謎を提示し、みんなに集団知で解いてもらうという企画です。どれだけ早く解かれてしまうか楽しみです。ルール 相談…

半年ぐらい前に考えた問題がやっと解けた。

半年ぐらい前に考えた問題ですが、やっと解けました。 su-hai.hatenablog.com これです。解答 任意の奇数について、その倍数で各桁がすべて奇数となるようなものが存在することを示す。任意の奇数を(ただしは5の倍数でない奇数)とおく。まず、次の補題を示…

2017JJMO本選模試を解いてみよう(後半)

JJMO本選模試です!例年よりは多少簡単なレベルだと思います。RT希望 pic.twitter.com/Lpke3aRQoM— だま氏 (@dama_math) 2016年11月20日 では、問4と問5の解答です。 問4 これは、点を置けるかどうかがカギになります。 所見でとれたらスゴいです。 解答 対…

2017JJMO本選模試を解いてみよう(前半)

だま氏@dama_math JJMO本選模試です!例年よりは多少簡単なレベルだと思います。RT希望 https://t.co/Lpke3aRQoM 2016/11/20 18:48:41 というわけで解説します。今日は問1から問3まで。 今思えば少し簡単すぎた…。 問1 2016年の問1は、問1のくせに簡単ではな…

ブログ移転しました。

ブログをlivedoorからhatenaに移転しました。引き続きよろしくお願いします。

問題コーナー(第2回)解答

では解答発表です。三角形\(ABC\)の外心を\(O\)とし、辺\(BC,CA,AB\)の中点をそれぞれ\(M_A,M_B,M_C\)とする。このとき三角形\(AOM_A,BOM_B,COM_C\)の外接円は点\(O\)以外の1点で交わることを示せ。円に関する反転を用いた解法です。点\(M_A,M_B,M_C\)をそれ…

マスターデーモンに挑戦

数学界で「マスターデーモン」というともうあれしかない、恐ろしい奴です。 1990 IMO 問3 \(\cfrac{2^n+1}{n^2}\)が整数となるような1より大きい整数\(n\)をすべて求めよ。 見た目はシンプルで、中学生も簡単に理解できる問題なのに、世界中の高校生を悩ませ…

LTEの補題

更新が遅れました。学園祭、定期試験などあり、少し忙しかったので。。。すいません。LTEといっても、Long Term Evolution(携帯電話の通信規格)ではありません。 Lifting The Exponent Lemmaです。これは整数論の定理で、痒いところに手が届くような便利な…

ブログを初めて1年。

ブログを初めて約1年がたちました。早かったような、短かったような…。これからも徘徊していく予定です。

問題コーナー

ほんっと久しぶり。前は12月だったかな。なんとなく三角形や円を描いていたらできた問題。僕の解き方だとまだ回りくどいと思うので、エレガントな解答をお願いします。簡単だったらごめんなさいm(_ _)mというわけで、早速問題。三角形\(ABC\)の外心を\(O\)と…

平方剰余の相互法則の証明(6)

これがラスト。更新が遅れてしまったが、平方剰余の相互法則を証明しよう。 \(p,q\)を互いに異なる奇素数とする。そのとき、\[\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}\]が成り立つ。 これは格子を使った照明が…

広中杯2016ファイナル3問目

この問題、本番では全然解けず、しかし家でやってみたら解けてしまったという悔しい問題。問題へこみのない四角形ABCDの対角線ACとBDは点Eにおいて垂直に交わっていて、∠EBC=12°, ∠EAB=∠CDE=33°, BE+EC=1となっている。このとき、△ABEの面積と△CDEの面積の差…

平方剰余の相互法則の証明(5)

今回は平方剰余の相互法則を証明する前に、補充法則を証明する。第1補充法則\[\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}}\]第2補充法則\[\left(\frac{2}{p}\right)=(-1)^{\frac{p^2-1}{8}}\]また、これは名前がついているかわからないのだが、重要な…

平方剰余の相互法則の証明(4)

補題3(ガウスの予備定理)\(p\)を奇素数、\((a,p)=1\)とする。このとき\[1\cdot a,2\cdot a,\cdots ,\frac{p-1}{2}\cdot a\]のうち、\(p\)で割った余りが\(\frac{p}{2}\)より大きいものの個数を\(n\)とするとき、\[\left(\frac{a}{p}\right)=(-1)^n\]が成立…

平方剰余の相互法則の証明(3)

つぎに、平方剰余に関する次の補題を証明する。これは「オイラーの基準」と呼ばれている。補題2\[\left(\cfrac{a}{p}\right)\equiv a^{\frac{p-1}{2}} \pmod p\]これはかなりきれいな式といえるだろう。証明以下、合同式はすべて \(p\) を法としたものである…

平方剰余の相互法則の証明(2)

まずこの補題を証明する。この補題は、平方剰余の相互法則だけではなく、いろいろな定理の補題としてよく使われる定理である。補題1:\(p\)を素数とする。そのとき、\(n\)次合同方程式\[f(x)\equiv 0 \pmod p \hspace{1cm}\cdots (1) \]は解をもってもその個…

平方剰余の相互法則の証明(1)

あ、最近整数論やってない…。というわけで整数論の記事を書く。今回はシリーズものにする。題して「平方剰余の相互法則シリーズ」である。まず、平方剰余の相互法則を語るうえで必要な記号について説明する。\(p\)を奇素数、\(a\)を\(p\)と互いに素な整数と…