数学徘徊記

自由な数学ブログ。

Wilsonの定理の組み合わせ論的な証明

思いついたので. Wilsonの定理 \(p\)を素数とするとき, \( (p-1)! \equiv -1 \pmod p\).証明 (いくつか証明を略しているところがありますが埋めるのは難しくないです)\(\mathbb{Z}_p\)の要素\(\{0,1,\dots,p-1\}\)の置換\( (q_0,\dots,q_{p-1})\)の集合を\[(…

Ramanujan-Nagell equation

何年ぶりの整数論だろう… おもに整数論とか書いてあるくせに… すみません 問題 不定方程式\(x^2+7=2^n\)の正の整数解をすべて求めよ. 実験 小さい\(n\)をいろいろ代入してみましょう. \[\begin{eqnarray} 2^3-7&=&1&=&1^2\\ 2^4-7&=&9&=&3^2\\ 2^5-7&=&25&=&…

ある長方形の問題の8通りの解答

定理 記事の概要 定義 証明 (1) 二重積分 (2) 市松模様 (3) 市松模様2 (4) 多項式 (5) 素数 (6) オイラーパス (7) 二部グラフ (8) 数学的帰納法 まとめ 定理 ある長方形\(R\)が, 少なくとも1つの辺の長さが整数であるような有限個の長方形に分割されていると…

初等的解法の存在する角度の問題

日曜数学 Advent Calendar 2018 の11日目の記事です。 adventar.org はじめに これは名大の日本数学コンクール論文賞に応募したものです。 11月24日の名古屋大学の数理ウェーブで発表した内容です。 論文内容 数理ウェーブでの発表に用いたスライドです。 ww…

生存報告 & 論文公開

最近忙しくて…ごめんなさい。 数学について 数オリの夏季セミに参加してきました。ホモロジーの初歩について勉強しました。 蛇の補題むっちゃすごい!!という感じです。 数学甲子園の本選が近いので頑張ります。 競プロについて 青coderになりました。黄色…

水色になるまでにやったこと

AtCoder水色になれました。(id: dama_math) (競プロ界隈、色が変わったら記事にする文化があるらしいので記事にしました) やったこと ちょうどひと月半前に競プロを始めました C++の基本事項を学びました 多少のデータ構造を学びました 多少グラフを実装でき…

生存報告

ブログを最近全然更新していないので、生存報告です。数オリのほうは日本代表になれませんでした。 まあ来年もあるので、次回は日本代表になれるよう頑張ります。最近は競プロと代数的整数論をやってます。 競プロは4月11日に始めたばかりなので何もわからな…

2018APMO受験記

APMO(アジア太平洋数学オリンピック)受験してきました~ APMOとは? APMO(アジア太平洋数学オリンピック)は、その名の通りアジアと環太平洋地域の国々が参加する数学オリンピックです。 試験の形式は4時間5問で、JMOと同じですね。 国際大会なわけですが海外…

2018JMO受験記

予選 予選はうまくいったんじゃないでしょうか。 第28回(2018年)JMO予選の問題 問題ごとに感想 問題1 算数パズルみたいで面白いですね。 問題2 1つ1つ数えていけば解けますね。はい。 問題3 まあ長さを変数にして連立方程式を解けばいいんでしょ →解けない。…

2018JJMO本選模試 解答編

先日公開した2018JJMO本選模試ですが,模範解答を公開します. 公開が遅くなってごめんなさい. 当ブログの記事: su-hai.hatenablog.com Dropbox: www.dropbox.com 1 コメント これはそんなに難しくないですね. さすがにJJMOにしては簡単すぎかなと思った…

反転幾何まとめ

この記事では,反転幾何とその構図について解説しています. 反転とは? & 反転の重要な性質 mathtrain.jp この記事は,反転の初歩について非常によくまとめられているので,そちらをご覧ください.特に, 反転によって, 1−1:原点を通る直線は原点を通る直…

Twitterで話題となった謎解きの作者、ちーたーさんにインタビュー

Twitterで話題となったこの謎解き。クイズの企画で作った謎解きがなかなか好評だったので上げますね。 pic.twitter.com/rWCUqZqVps— ちーたー@ヒントと解答は固定ツイ参照 (@Cheetah_math) 2017年12月10日 今回はこの謎解きの作者、「ちーたー」さんにインタ…

数学オリンピック対策用のリンク集

忘備録。過去問集や本も出版されているものの、 「それだけでは足りない!」「お金をかけずに対策したい!」 という人のためにも。日本数学オリンピック入賞~国際数学オリンピック入賞くらいのレベルを想定。英語で書かれたサイトも多いですが、少し言い回…

2018JJMO本選模試

ついに、、2018JJMO本選模試、、公開しました!!!近年のJJMOの傾向を研究し、海外の数学オリンピックの問題から問題を選びました。 問題 近年の傾向について 問題 Dropbox: www.dropbox.com出典: Canada MO 2004-1 IZhO 2015-1 Iran MO 2nd 2013-4 ITAMO 2…

JMO夏季セミに参加した。

どうも、お久しぶりです。 2か月以上更新していませんでした。夏休みの後半から文化祭にかけて結構忙しく、なかなか記事を書く時間がありませんでした。この記事では、夏休みの後半に行った夏季セミについて書こうと思います。これは公式のHPです。 jmoss.j…

数学甲子園奮闘記

メンバー構成 高2が1人、高1が3人、中3が1人の全部で5人の構成です。 友達に誘われて数学甲子園に参加しました。 予選 予選は個人戦なので、チームでも「対策は個人でやってて」みたいな感じでした。 まあ予選通過できてよかったです。後でわかったことなん…

傍心の有名な難問

有名な平面幾何の難問として, 次のようなものがあります. 図において, \(O\)は\(\triangle ABC\)の外心, \(I_A\)は角\(A\)内の傍心とする. このとき, \(EF \perp OI_A\)を証明せよ. 問題自体はシンプルですが, かなりの難問です. まず, 結ぶ線が特殊ですね. …

寮のバスケ大会で数学を見つけた話

背景 寮の行事で、バスケットボール大会がありました。4チームに分けて、総当たり戦で競います。学校の体育館を借りて試合を行ったのですが、 その体育館はコートを2つ作れます。 つまり、同時に2試合行えます。4チームでの総当たり戦なので、合計6試合とな…

数ぽよ用フォーラム

数ぽよ用のフォーラムを作りました! なんと!TeX対応です!(\(と\)で囲んでください) http://supoyo.forumotion.asia/forum広告からウイルスが入るらしいのでいったん閉鎖します

黒峰問題

追記:ミスを直しました。黒峰問題とは \(2^x+3^y+5=z^3\)の非負整数解\((x,y,z)\)をすべて求めよ。という問題で、まだ未解決です。 (1,0,2),(5,3,4)という2つの解は見つかっていますが、他は見つかっていません。ここは略しますが、奇遇やmod 4, 7, 9で考え…

数式お絵かきでサーバルともう1匹描いてみたよ(本編)

上の動画には載せなかったことを中心に書きます。 目 一番苦労したのは目の部分です。 不等式にすることで黒く塗りつぶしているわけです。 右目 \(-0.14957x^2-0.08395y^2+0.01615xy+0.37445x+0.50634y-1\ge 0 \\ \left\{-0.03332x^2-0.02929y^2-0.16734xy+0…

問題コーナー(第3回)解答

この問題は難しかったかと思います。 15°って割と使うのが難しいんですよね。しかも27°という数字まであります。 解答です。 用意していた解答 この解答はやや複雑です。角の二等分線定理を使います。 まず、図のように点とおきます。 そして、の延長にとな…

円に内接もするし外接もする四角形

円に内接する四角形ってありますよね。 よく図形の問題を解いていると出てきます。逆に、円に外接する四角形っていうのもありますよね。 こちらはあまり問題では見かけませんが。確かにあります。では、 「円に内接もするし外接もする四角形」 とはどのよう…

問題コーナー(第三回)

解けたらコメントでも大丈夫なので、解答をお待ちしております。

最近解いたEGMOの良問(2017年のEGMO日本代表一次選抜試験の問題2)

最近解いた問題で、結構良問だったので紹介します。 2017年のEGMO日本代表一次選抜試験の問題2です。 問題 数列をと定める。 このとき、次の条件を満たす素数が無数に存在することを示せ。 条件:の中にの倍数が存在する。 問題解説 問題をわかりやすく解説…

arctanの無限和の問題

近畿大学主催の数学コンテストの過去問に,面白いものがあった. 第13回,B-3の問題である. を示せ.arctanはtanの逆関数のことだが….arctanのなかにってどうやって計算するんだ,て感じである.この問題を解くために,まずはこのarctanの公式を説明する. この証明…

2017をn進法で書き表したら各桁の和がn

鯵坂もっちょさんのこのツイートが気になったので、考察してみました。そもそも10進法2017の各桁の和も10だしn進法2017各桁の和がnになるのはほかにも10,19,22,25,29,33,37,43,49,57,64,73,85,97,113,127...といっぱいある けど2018には一つもない! ふしぎ…

#だま氏の謎

来年の年賀状は何か変わったことをしたいなと思い、この企画をしました。 2017年賀状特設ページ!#だま氏の謎 です。これは、だま氏が5つの謎を提示し、みんなに集団知で解いてもらうという企画です。どれだけ早く解かれてしまうか楽しみです。ルール 相談…

半年ぐらい前に考えた問題がやっと解けた。

半年ぐらい前に考えた問題ですが、やっと解けました。 su-hai.hatenablog.com これです。解答 任意の奇数について、その倍数で各桁がすべて奇数となるようなものが存在することを示す。任意の奇数を(ただしは5の倍数でない奇数)とおく。まず、次の補題を示…

2017JJMO本選模試を解いてみよう(後半)

JJMO本選模試です!例年よりは多少簡単なレベルだと思います。RT希望 pic.twitter.com/Lpke3aRQoM— だま氏 (@dama_math) 2016年11月20日 では、問4と問5の解答です。 問4 これは、点を置けるかどうかがカギになります。 所見でとれたらスゴいです。 解答 対…