数学徘徊記

自由な数学ブログ。

幾何

ある長方形の問題の8通りの解答

定理 記事の概要 定義 証明 (1) 二重積分 (2) 市松模様 (3) 市松模様2 (4) 多項式 (5) 素数 (6) オイラーパス (7) 二部グラフ (8) 数学的帰納法 まとめ 定理 ある長方形\(R\)が, 少なくとも1つの辺の長さが整数であるような有限個の長方形に分割されていると…

初等的解法の存在する角度の問題

日曜数学 Advent Calendar 2018 の11日目の記事です。 adventar.org はじめに これは名大の日本数学コンクール論文賞に応募したものです。 11月24日の名古屋大学の数理ウェーブで発表した内容です。 論文内容 数理ウェーブでの発表に用いたスライドです。 ww…

反転幾何まとめ

この記事では,反転幾何とその構図について解説しています. 反転とは? & 反転の重要な性質 mathtrain.jp この記事は,反転の初歩について非常によくまとめられているので,そちらをご覧ください.特に, 反転によって, 1−1:原点を通る直線は原点を通る直…

傍心の有名な難問

有名な平面幾何の難問として, 次のようなものがあります. 図において, \(O\)は\(\triangle ABC\)の外心, \(I_A\)は角\(A\)内の傍心とする. このとき, \(EF \perp OI_A\)を証明せよ. 問題自体はシンプルですが, かなりの難問です. まず, 結ぶ線が特殊ですね. …

問題コーナー(第3回)解答

この問題は難しかったかと思います。 15°って割と使うのが難しいんですよね。しかも27°という数字まであります。 解答です。 用意していた解答 この解答はやや複雑です。角の二等分線定理を使います。 まず、図のように点とおきます。 そして、の延長にとな…

円に内接もするし外接もする四角形

円に内接する四角形ってありますよね。 よく図形の問題を解いていると出てきます。逆に、円に外接する四角形っていうのもありますよね。 こちらはあまり問題では見かけませんが。確かにあります。では、 「円に内接もするし外接もする四角形」 とはどのよう…

問題コーナー(第三回)

解けたらコメントでも大丈夫なので、解答をお待ちしております。

問題コーナー(第2回)解答

では解答発表です。三角形\(ABC\)の外心を\(O\)とし、辺\(BC,CA,AB\)の中点をそれぞれ\(M_A,M_B,M_C\)とする。このとき三角形\(AOM_A,BOM_B,COM_C\)の外接円は点\(O\)以外の1点で交わることを示せ。円に関する反転を用いた解法です。点\(M_A,M_B,M_C\)をそれ…

問題コーナー

ほんっと久しぶり。前は12月だったかな。なんとなく三角形や円を描いていたらできた問題。僕の解き方だとまだ回りくどいと思うので、エレガントな解答をお願いします。簡単だったらごめんなさいm(_ _)mというわけで、早速問題。三角形\(ABC\)の外心を\(O\)と…

広中杯2016ファイナル3問目

この問題、本番では全然解けず、しかし家でやってみたら解けてしまったという悔しい問題。問題へこみのない四角形ABCDの対角線ACとBDは点Eにおいて垂直に交わっていて、∠EBC=12°, ∠EAB=∠CDE=33°, BE+EC=1となっている。このとき、△ABEの面積と△CDEの面積の差…

等角共役点の証明

等角共役点とはこのようなものだ。等角共役点:三角形ABCと点 P がある。角の頂点を通る直線 l と角の二等分線に関して対称な直線 m を l の等角共役線という。AP,BP,CP の等角共役線は一点で交わり,これを P の等角共役点という。この、「一点で交わる」と…

円の反転とオイラーの不等式

オイラーの不等式とは、三角形ABCにおいて、外接円の半径をR、内接円の半径をrとおくとR≧2rが成り立つ。というものである。これの円の反転を使ったきれいな証明を見つけたので、書いておく。まず次の補題を使う。補題:半径の等しい3つの円が1点で交わるとき…

昔、線を引いて遊んだこと。

初めての代数編。昔、こんな感じで線を引いて遊んだことがあるのだが…。0と1、0.1と0.9、0.2と0.8、…と線を結んでいくと、なんだか曲線が見えてくる。直線が曲線を作るのは、かなり不思議である。で、中1の時にこんなことが疑問に思った。「この曲線はどの…

2016JJMO本選第4問

これは本番中全然解けなかったものの、そのあと2週間後に解けた問題である。なかなか面白かった。財団が用意していた解答例と違ったので、書く。問題鋭角三角形ABCにおいて、垂心をH、外心をOとする。また、Oを通り直線に平行な直線とAB、ACの交点をそれぞ…

問題コーナー(第1回)解答

この問題は意外な答えになります。問題三角形ABCがある。辺BC上にAB=PCとなる点Pを取ったところ、角PAB=角ACBとなった。このとき、角ABCを求めよ。ただし角ABCは鈍角(90度より大きい)とする。1:正弦定理による解答△PBA∽△ABCよりBP:BA=BA:(BP+PC),BP(BP+PC…

問題コーナー 第1回(追加)

問題コーナー第1回、正直、正弦定理で余裕に解けると思っていませんか?実際そうなんですが…。実は、この問題は初等幾何でも解けるんです!考えてみてください!

問題コーナー 第1回

問題コーナーを作りました。記念すべき第1回なので、自作の問題(自分では良問と思っている)を載せます。問題三角形ABCがある。辺BC上にAB=PCとなる点Pを取ったところ、角PAB=角ACBとなった。このとき、角ABCを求めよ。ただし角ABCは鈍角(90度より大きい…