数学徘徊記

自由な数学ブログ。

数学

2018JJMO本選模試

ついに、、2018JJMO本選模試、、公開しました!!!近年のJJMOの傾向を研究し、海外の数学オリンピックの問題から問題を選びました。 問題 近年の傾向について 問題 Dropbox: www.dropbox.com出典: Canada MO 2004-1 IZhO 2015-1 Iran MO 2nd 2013-4 ITAMO 2…

JMO夏季セミに参加した。

どうも、お久しぶりです。 2か月以上更新していませんでした。夏休みの後半から文化祭にかけて結構忙しく、なかなか記事を書く時間がありませんでした。この記事では、夏休みの後半に行った夏季セミについて書こうと思います。これは公式のHPです。 jmoss.j…

数学甲子園奮闘記

メンバー構成 高2が1人、高1が3人、中3が1人の全部で5人の構成です。 友達に誘われて数学甲子園に参加しました。 予選 予選は個人戦なので、チームでも「対策は個人でやってて」みたいな感じでした。 まあ予選通過できてよかったです。後でわかったことなん…

傍心の有名な難問

有名な平面幾何の難問として, 次のようなものがあります. 図において, \(O\)は\(\triangle ABC\)の外心, \(I_A\)は角\(A\)内の傍心とする. このとき, \(EF \perp OI_A\)を証明せよ. 問題自体はシンプルですが, かなりの難問です. まず, 結ぶ線が特殊ですね. …

寮のバスケ大会で数学を見つけた話

背景 寮の行事で、バスケットボール大会がありました。4チームに分けて、総当たり戦で競います。学校の体育館を借りて試合を行ったのですが、 その体育館はコートを2つ作れます。 つまり、同時に2試合行えます。4チームでの総当たり戦なので、合計6試合とな…

黒峰問題

追記:ミスを直しました。黒峰問題とは \(2^x+3^y+5=z^3\)の非負整数解\((x,y,z)\)をすべて求めよ。という問題で、まだ未解決です。 (1,0,2),(5,3,4)という2つの解は見つかっていますが、他は見つかっていません。ここは略しますが、奇遇やmod 4, 7, 9で考え…

数式お絵かきでサーバルともう1匹描いてみたよ(本編)

上の動画には載せなかったことを中心に書きます。 目 一番苦労したのは目の部分です。 不等式にすることで黒く塗りつぶしているわけです。 右目 \(-0.14957x^2-0.08395y^2+0.01615xy+0.37445x+0.50634y-1\ge 0 \\ \left\{-0.03332x^2-0.02929y^2-0.16734xy+0…

問題コーナー(第3回)解答

この問題は難しかったかと思います。 15°って割と使うのが難しいんですよね。しかも27°という数字まであります。 解答です。 用意していた解答 この解答はやや複雑です。角の二等分線定理を使います。 まず、図のように点とおきます。 そして、の延長にとな…

円に内接もするし外接もする四角形

円に内接する四角形ってありますよね。 よく図形の問題を解いていると出てきます。逆に、円に外接する四角形っていうのもありますよね。 こちらはあまり問題では見かけませんが。確かにあります。では、 「円に内接もするし外接もする四角形」 とはどのよう…

問題コーナー(第三回)

解けたらコメントでも大丈夫なので、解答をお待ちしております。

最近解いたEGMOの良問(2017年のEGMO日本代表一次選抜試験の問題2)

最近解いた問題で、結構良問だったので紹介します。 2017年のEGMO日本代表一次選抜試験の問題2です。 問題 数列をと定める。 このとき、次の条件を満たす素数が無数に存在することを示せ。 条件:の中にの倍数が存在する。 問題解説 問題をわかりやすく解説…

arctanの無限和の問題

近畿大学主催の数学コンテストの過去問に,面白いものがあった. 第13回,B-3の問題である. を示せ.arctanはtanの逆関数のことだが….arctanのなかにってどうやって計算するんだ,て感じである.この問題を解くために,まずはこのarctanの公式を説明する. この証明…

2017をn進法で書き表したら各桁の和がn

鯵坂もっちょさんのこのツイートが気になったので、考察してみました。そもそも10進法2017の各桁の和も10だしn進法2017各桁の和がnになるのはほかにも10,19,22,25,29,33,37,43,49,57,64,73,85,97,113,127...といっぱいある けど2018には一つもない! ふしぎ…

半年ぐらい前に考えた問題がやっと解けた。

半年ぐらい前に考えた問題ですが、やっと解けました。 su-hai.hatenablog.com これです。解答 任意の奇数について、その倍数で各桁がすべて奇数となるようなものが存在することを示す。任意の奇数を(ただしは5の倍数でない奇数)とおく。まず、次の補題を示…

2017JJMO本選模試を解いてみよう(後半)

JJMO本選模試です!例年よりは多少簡単なレベルだと思います。RT希望 pic.twitter.com/Lpke3aRQoM— だま氏 (@dama_math) 2016年11月20日 では、問4と問5の解答です。 問4 これは、点を置けるかどうかがカギになります。 所見でとれたらスゴいです。 解答 対…

2017JJMO本選模試を解いてみよう(前半)

だま氏@dama_math JJMO本選模試です!例年よりは多少簡単なレベルだと思います。RT希望 https://t.co/Lpke3aRQoM 2016/11/20 18:48:41 というわけで解説します。今日は問1から問3まで。 今思えば少し簡単すぎた…。 問1 2016年の問1は、問1のくせに簡単ではな…

昔、線を引いて遊んだこと。

初めての代数編。昔、こんな感じで線を引いて遊んだことがあるのだが…。0と1、0.1と0.9、0.2と0.8、…と線を結んでいくと、なんだか曲線が見えてくる。直線が曲線を作るのは、かなり不思議である。で、中1の時にこんなことが疑問に思った。「この曲線はどの…

2016年JJMOを受けてきた

やはり数学好きとしてはジュニア数学オリンピック (JJMO) を受けておきたい。まだ中2なので、入賞すれば上出来、そうでなくても予選通過はしたいと思って臨んだ。予選問題は、下記のリンクから。http://www.imojp.org/challenge/old/jjmo14yq.html予選は割と…

5882353について

5882353は面白い特徴を持った数で、5882353=5882+23532がなりたつ。一見しただけでは普通のテキトーな数にしか見えないので、よけいに不思議である。もちろん、同じような数を見つけたくなる。\(x^2+y^2=10^nx+y\)(\(x,y,n\)は自然数、\(10^n>y\))について…

x^2+y^2=n(z^2)の自然数解(2)

前回分はこちらx^2+y^2=n(z^2)の自然数解(1)ここから、\(n\)を一般的にして考えてみる。途中の式変形から考えると、\(n\)が2個の平方数の和で表されるとき、\(x^{2}+y^{2}=nz^{2}\)の解は無数に存在するのでは?検証しよう。\(n=a^2+b^2\)(\(a,b\)は自然数)…

x^2+y^2=n(z^2)の自然数解(1)

\(x^{2}+y^{2}=z^{2}\) はみんな知っている。この自然数解は \((a^{2}-b^{2},2ab,a^{2}+b^{2})\) の形で表され、無数にあるのは有名だが(ピタゴラス数) \(x^{2}+y^{2}=nz^{2}\) ( \(n\) は自然数)の自然数解は、 \(n\) がどんな時に存在するのか?と言う…

準完全数は存在するか?

なぜこんなことを考えたのか?僕の友達が考えた問題だが、約数の和が 2n + 1 に等しい数 n を準完全数と呼ぶことにする。このとき、準完全数は存在しない。という問題を出してきた。友達は200までやって、なかったらしい。ああ!何としても見つけたい!(`・ω…

ユークリッドの補題の証明

まず、ユークリッドの補題とは…。素数\(p\)が\(ab\)を割り切るなら,\(p\)は\(a\)か\(b\)のいずれか一方を割り切る。という、当たり前だろ!?( ・Д・)という定理。しかしこれ、証明がかなり回りくどい…。なかなか完全な証明を書いていないところが多かった…

エルデシュ・シュトラウス予想の考察

エルデシュ・シュトラウス予想とは…。n を n>2 を満たす自然数とするとき、\( \cfrac{4}{n}=\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}+\cfrac{1}{z}\)の自然数解(x,y,z)は必ず存在する。という予想です。これが中1の時にすごくはまってしまって…。その考察を書きます。2…