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数学徘徊記

自由な数学ブログ。

2017JJMO本選模試を解いてみよう(前半)

というわけで解説します。今日は問1から問3まで。

今思えば少し簡単すぎた…。

問1

2016年の問1は、問1のくせに簡単ではなかったので、その傾向を反映させてみました。

解答

f:id:yootaamath:20161201202931p:plain

図のように、三角形{ADE}{BMC}が合同になるように点{E}をとる。四角形{DCEM}は平行四辺形なので、{\angle DAE=\angle CBM=\angle CDM=\angle DCE}である。従って、4点{A,D,E,C}は同一円周上にある。円周角の定理により{\angle ACD=\angle AED=\angle BCM}である。

問2

そろそろN(整数論)が出るかと思ったので、出してみました。
(といってもC(組合せ)やA(代数)の要素も強い)

解答

等式\(ab+a+b=(a+1)(b+1)-1\)より、この黒板Xに書くことのできる数に1を加えた数の全体は、別の黒板Yに次の規則のもとで書くことのできる数の全体に一致する。
 始めに2,3が書かれている。
 黒板にすでに書かれている二つの数の積を書き加えることができる。
このとき、黒板Yに書くことのできる整数は、\(2^n\cdot 3^m\)の形の数であり、\(13121+1=2\cdot 3^8\),\(12131+1=2^2 \cdot 3^2 \cdot 337\)だから、13122を黒板Yに書くことはできるが、12132を書くことはできない。よって、13121を黒板Xに書くことはできるが、12131を書くことはできない。

問3

ちょっとこれは簡単すぎちゃうか?

\[\frac{1}{2}(a+b)^2+\frac{1}{4}(a+b)\geq a\sqrt{b}+b\sqrt{a}\]

まず左辺は\(\frac{1}{2}(a+b)\)でくくれます。

しかも右辺は\(\sqrt{ab}\)でくくれます。

これは相加相乗平均の不等式しかない!

証明

相加相乗平均の不等式より、
\[\frac{1}{2}(a+b)\geq \sqrt{ab} \hspace{3.5em} \cdots①\]
また、
\[\left( \sqrt{a}-\frac{1}{2}\right) ^2+\left( \sqrt{b}-\frac{1}{2}\right)^2 \geq 0\]
より
\[a+b+\frac{1}{2} \geq \sqrt{a}+\sqrt{b}\hspace{3.5em} \cdots②\]
よって、①と②を辺々掛け合わせて結果を得る。

 

問4と問5はもう少し時間がかかるかな?というところです。

特に問5は時間がかかりそう。