2017JJMO本選模試を解いてみよう（後半）

JJMO本選模試です！
例年よりは多少簡単なレベルだと思います。

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— だま氏 (@dama_math) 2016年11月20日

では、問4と問5の解答です。

問4

これは、点 ${X}$ を置けるかどうかがカギになります。
所見でとれたらスゴいです。

解答

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対称性より、点 ${P,A,B}$ と ${Q,A,D}$ はこの順に並ぶと仮定してよい。
${\triangle ABQ}$ の外接円と直線 ${PQ}$ が交わる点を ${X}$ とする。
このとき、 ${\angle PDA=\angle ABC=\angle AXQ}$ より、
4点P,D,A,Xは同一円周上にある。
よって、方べきの定理を使って
${ \begin{eqnarray} PD\cdot PC+QB\cdot QC&=&PA\cdot PB+QA\cdot QD \\ &=& PQ\cdot PX+PQ\cdot QX\\ &=& PQ(PX+XQ)\\ &=& PQ^2 \end{eqnarray} }$
よって示された。

問5

これは、数学セミナーの2015年11月号の「エレガントな解答をもとむ」から出題。
問5らしい問題ではないでしょうか。

解答

「2点間のとりえる距離が2種類になる」という条件を ${P}$ とする。
正五角形の頂点は ${P}$ を満たすので、 ${n\geq6}$ のとき ${P}$ を満たす配置は存在しないことを示す。
まず次の補題を示す。
補題. もし ${P}$ を満たす6点からなる配置が存在したとすれば、そのなかに正三角形が含まれる。
証明. 配置の中のある点 ${X}$ に注目する。この頂点とほかの5点とのそれぞれの距離は2種類なので、5つの点のなかに、同じ長さの距離をとる3点が存在する。これを ${A,B,C}$ とし、 ${XA=XB=XC=a}$ とおく。もし ${AB,BC,CA}$ の中に長さが ${a}$ となるものが存在したとすれば、一辺が ${a}$ の正三角形が含まれる。またそうでないときは、 ${AB=BC=CA}$ となるので、 ${ABC}$ が正三角形となる。よって示された。

つぎに、正三角形が存在することが分かったので、正三角形に点を追加する方針で考える。
正三角形に点を追加して ${P}$ を満たすようにするとき、新しく点を追加できる位置は下の図のような場所しかない。
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6点以上追加する場合、正三角形に3点以上追加する必要がある。 ${P}$ を満たすためには新しくできる長さを同じにする必要があるため、考えられる配置は次の3つに限られる。
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しかし、これらはすべて ${P}$ を満たさない。よって6点以上からなる配置は存在しない。