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数学徘徊記

自由な数学ブログ。

arctanの無限和の問題

解析 数学

近畿大学主催の数学コンテストの過去問に,面白いものがあった.
第13回,B-3の問題である.
{\begin{eqnarray}
\sum^\infty_{n=1}\arctan\left(\frac{2}{n^2}\right)=\frac{3\pi}{4}
\end{eqnarray}}
を示せ.

arctanはtanの逆関数のことだが….

arctanのなかに{\frac{2}{n^2}}ってどうやって計算するんだ,て感じである.

この問題を解くために,まずはこのarctanの公式を説明する.
{\arctan a+\arctan b=\arctan\left(\frac{a+b}{1-ab}\right)}
この証明から.
tanの加法定理より
{\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha\tan \beta}}
ここで{\tan \alpha=a,\tan \beta=b}とおくと
{\begin{eqnarray}
\tan(\alpha+\beta)&=&\frac{a+b}{1-ab} \\
\alpha+\beta&=&\arctan\left(\frac{a+b}{1-ab}\right) \\
\arctan a+\arctan b&=&\arctan\left(\frac{a+b}{1-ab}\right)
\end{eqnarray}}
と目的の式が得られる.

この式をどうやって使うかがカギとなる.
うまい値を代入したらいいのだが….

答えを言うと, {a=1-n,b=1+n}を代入する.
こうすると{\frac{a+b}{1-ab}=\frac{2}{n^2}}より,
{\arctan(1-n)+\arctan(1+n)=\arctan\left(\frac{2}{n^2}\right)}となり,目的の式に近づく.

{n}が大きくなると{1+n}は正の方向に,{1-n}は負の方向に値が変化するので,
しかも{\arctan(-x)=-\arctan(x)}なので,
うまい具合に消えていきそうな気がする.

では解答行こう.

{f(x)=\sum^x_{n=1}\arctan\left(\frac{2}{n^2}\right)}
と定義する.
すると仮定より
{\begin{eqnarray}
f(x)-f(x-1)&=&\arctan\left(\frac{2}{x^2}\right) \\
&=&\arctan(1-x)+\arctan(1+x)
\end{eqnarray}}
である.

まず,次の等式を数学的帰納法により示す.
任意の自然数{x}において,
{f(x)=-\frac{\pi}{4}+\arctan x+\arctan(x+1)\cdots\clubsuit}
{x=1}のとき,
{\begin{eqnarray}
f(1)&=&\arctan 2 \\
&=&\arctan -1+\arctan 1+\arctan2 \\
&=&-\frac{\pi}{4}+\arctan x+\arctan(x+1)
\end{eqnarray}}
より{\clubsuit}の等式を満たす.
x=kのとき{\clubsuit}の等式を満たすと仮定する.このとき
{f(k)=-\frac{\pi}{4}+\arctan k+\arctan(k+1)}
また,
{\begin{eqnarray}
f(k+1)-f(k)&=&\arctan(1-(k+1))+\arctan(1+(k+1))  \\
&=&\arctan(-k)+\arctan(k+2) \\
&=&-\arctan k+\arctan(k+2) 
\end{eqnarray}}
より,
{\begin{eqnarray}
f(k+1)&=&f(k+1)-f(k)+f(k) \\
&=&-\arctan k+\arctan(k+2)+\left(-\frac{\pi}{4}\right)+\arctan k+\arctan(k+1) \\
&=&-\frac{\pi}{4}+\arctan(k+1)+\arctan(k+2)
\end{eqnarray}}
となるので,{x=k+1}のときも等式は成り立つ.
よって数学的帰納法により,{\clubsuit}の等式が成り立つことが証明された.

これができたらもう簡単である.
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)$を求めればいいので,
{\begin{eqnarray}
\lim_{x \to \infty} f(x)&=&\lim_{x \to \infty} -\frac{\pi}{4}+\arctan x+\arctan(x+1) \\
&=&-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2} \\
&=&\frac{3\pi}{4}
\end{eqnarray}}
より問題の式が成り立つことが証明された.

なかなか意外性のある面白い問題だと思った.

近畿大学主催の数学コンテストにはほかにも面白い問題が出題されているので,興味のある方は調べてみてはどうかと思う.