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数学徘徊記

自由な数学ブログ。

問題コーナー(第3回)解答

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この問題は難しかったかと思います。
15°って割と使うのが難しいんですよね。しかも27°という数字まであります。
解答です。

用意していた解答

この解答はやや複雑です。角の二等分線定理を使います。
まず、図のように点{A,B,C,D}とおきます。
f:id:yootaamath:20170221210253p:plain
そして、{DA}の延長に{\angle ABE=15^\circ}となるように点{E}を、
{DC}の延長に{\angle CBF=27^\circ}となるように点{F}をとります。
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つぎに四角形{BFDG}が平行四辺形となるように、
つまり{\triangle BDF\equiv \triangle DBG}となるように点{G}をとります。

すると図のようになります。(見覚えのある人もいるかもしれません)
f:id:yootaamath:20170221210257p:plain
ここで、直線{DG}に関して点{E}と同じ側に、{\triangle HDG}が正三角形となるように点{H}をとります。
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すると、二辺挟角相等より{\triangle GDE \equiv \triangle HDE}より{EH=EG}
よって{\angle EHG=36^\circ}となります。
また、{\angle GHD=2 \angle GBD}{HG=HD}より点{H}は三角形{BDG}の外心となるので、{HB=HG}となります。よって{\angle EBH=36^\circ}です。
そして簡単な角度計算で{\angle BEH=\angle BHE =72^\circ }がわかり、{EB=HB}がわかります。
よって、{BE=DG}となります。
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四角形{BFDG}は平行四辺形なので、{DG=BF}より、{BE=BF}です。

ここで角の二等分線定理を使います。
{EA:AD=BE:BD, FC:CD=BF:BD, BE=BF}より{EA:AD=FC:CD}なので{EF//AC}となります。
また{BE=BF}より{\angle BEF=48^\circ}。よって{\angle DEF=78^\circ}です。
{EF//AC}より{\angle DAC =\angle DEF=78^\circ}
したがって{\angle BAC=63^\circ}となり、これが答えです。

コメント

さきほど「見覚えのある人もいるかもしれません」といったのは、
この問題コーナーの第1回の図形が入っていたからです。
su-hai.hatenablog.com
実はこの問題は第1回の問題を基にして作られた問題です。
二番煎じと言ったらそうかもしれませんが。。。

別解

TwitterでHiroshi Saitoさんから解答をいただきました。ありがとうございます。
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