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数学徘徊記

自由な数学ブログ。

2016JJMO本選第4問

幾何
これは本番中全然解けなかったものの、
そのあと2週間後に解けた問題である。

なかなか面白かった。

財団が用意していた解答例と違ったので、書く。
問題
鋭角三角形ABCにおいて、垂心をH、外心をOとする。また、Oを通り直線に平行な直線とAB、ACの交点をそれぞれP、Qとし、線分AHの中点をMとする。このとき、∠BMP=∠CMQを示せ。

2016jjmoh4-1

この問題、点PとかQとかMとかいうよくわからない点を
どう扱っていくかが難しい。

これ、実は∠BMQが直角になるのである。
これは図を丁寧に書かないと気付かなさそう。

では、自分の考えた解答。

証明
2016jjmoh4-2

まず,辺AB,BC,BHの中点をそれぞれD,E,Nとする。
そして点Qから辺BCに下した垂線の足をRとする。

このとき,中点連結定理よりDN//AH,
またAH⊥BC,AH⊥OEよりAH//OE
よってDN//OE
同じようにしてEN//OD
ゆえに四角形ODNEは平行四辺形となる。
よってDN=OEが成り立つ。

また四角形OERQは長方形より,OE=QR
そして中点連結定理よりAM=MH=AH/2=DN
したがってAM=MH=QRが成り立つ。

2016jjmoh4-3
よって四角形AMRQ,MHRQも平行四辺形となるから,
AC//MR,MQ//HRが成り立つ。

ここで△MBRに注目する。
MH⊥BR,またAC//MR,AC⊥BHよりBH⊥MR
が成り立つことから,点Hは△MBRの垂心となる。
よって,RH⊥MBが成り立つ。

したがって,RH//QMより,
MB⊥QMすなわち∠BMQ=90°となる。

∠CMPについても同じことが言える。

したがって∠BMQ=∠CMPとなり,
BMP=∠CMQとなることが証明された。


点Hが△MBRの垂心にもなるというところが面白かった。

(図は、GebGebraを使用して作成した。)