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数学徘徊記

自由な数学ブログ。

2015ジュニア広中杯の問題について

整数論
2015年ジュニア広中杯の問題4番。
2015の倍数で、どの桁の数字も奇数であるものを一つ求めよ。ただし、12桁以内のものに限る。
という問題があった。

答えを言ってしまうと、最少は155155(=2015x77)、次は179335(=2015x89)である。
この問題、桁数を8桁までとしても252個あるので、
答えはものすごくたくさんあり、いい問題とは言えない。

しかしこのように一般化して考えるとおもしろい。
任意の奇数nの倍数で、どの桁の数字も奇数であるものは存在するか?

この問題の回答では、任意の奇数nの倍数で、どの桁の数字も奇数であるものの上界が
低ければ低い解答ほど、なおよいのだが。

まあ考えてみよう。
実はこの問題、問題文で「奇数」を「偶数」と変えた問題のほうは簡単である。
2k以下の任意の自然数nの倍数で、k桁以下でどの桁の数字も偶数であるものが存在することが簡単に示せる。
たとえばk=2の場合、次のような数の集合を考える。
{88,68,66,46,44,24,22,2,0}
鳩ノ巣原理より、nのあまりは9個あるので互いに等しいものが存在する。
その2つの差をとればnの倍数となるが、これはどの桁の数字も偶数である。
よって示せた。この方法はkがどのような値でも使える。

しかし奇数で同じ方法を使おうとすると、うまくいかない。
5の倍数でないのなら、
1,11,111,…のなかに必ずnの倍数はあるのだが、
5の倍数のときもうまくいくうまい方法はあるのか…。

一応数表作ってみた。
数表

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