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数学徘徊記

自由な数学ブログ。

平方剰余の相互法則の証明(1)

整数論
あ、最近整数論やってない…。
というわけで整数論の記事を書く。

今回はシリーズものにする。題して「平方剰余の相互法則シリーズ」である。


まず、平方剰余の相互法則を語るうえで必要な記号について説明する。

\(p\)を奇素数、\(a\)を\(p\)と互いに素な整数とする。2次の合同方程式
\[x^2\equiv a \pmod p\]が解を持つとき、\(a\)は\(p\)を法として平方剰余であるといい、
\(\left(\frac{a}{p}\right)=1\)と書く。
そうでないときは、\(a\)は\(p\)を法として平方非剰余であるといい、
\(\left(\frac{a}{p}\right)=-1\)と書く。
この記号\(\left(\frac{a}{p}\right)\)をルジャンドルの平方剰余記号という。


たとえば、2次合同方程式\(x^2\equiv 4 \pmod 5\)は、
\(x\equiv 2,4\)という解があるため、\(\left(\frac{4}{5}\right)=1\)である。
2次合同方程式\(x^2\equiv 3 \pmod 5\)は解をもたないため、
\(\left(\frac{3}{5}\right)=-1\)である。

そして、平方剰余の相互法則がこちら。
\(p,q\)を互いに異なる奇素数とする。そのとき、
\[\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}\]が成り立つ。

この定理の完全な証明はガウスが与えた。

このシリーズでは、この定理の証明について解説する。

(参考:数学セミナー2016年2月号)