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数学徘徊記

自由な数学ブログ。

平方剰余の相互法則の証明(3)

整数論
つぎに、平方剰余に関する次の補題を証明する。これは「オイラーの基準」と呼ばれている。
補題2
\[\left(\cfrac{a}{p}\right)\equiv a^{\frac{p-1}{2}} \pmod p\]
これはかなりきれいな式といえるだろう。

証明
以下、合同式はすべて \(p\) を法としたものである。

\(A=\{1,2,\cdots ,p-1\}\) とおく。

補題1.1より、 \(r\in A\) に対し \(sr\equiv a\) となる \(A\) の元 \(s\) がただ1つある。

また、 \(r\cdot r^{-1}\equiv 1\) となる \(A\) の元 \(r^{-1}\) も存在するため、
\(A\) の元 \(k,l\) が \(kr\equiv lr\) を満たすとき、
\(krr^{-1}\equiv lrr^{-1}\) より \(k\equiv l\) である。

よって、対応 \(r\mapsto s\) は単射である。この \(s\) と \(r\) を互いの同伴数と呼ぶ。

(1)
\(\left(\frac{a}{p}\right)=1\) のとき、 \(x^2\equiv a\) は解 \(x=r\) をもつ。
このことは、 \(r\) が \(r\) 自身と同伴であることを示す。
\((p-r)^2\equiv a\) だから、 \(p-r\) も自分自身と同伴である。
\(r\) と \(p-r\) は \(p\) を法として合同でないから、
補題1より、2次合同方程式 \(x^2\equiv a\) の解は \(r\) と \(p-r\) の2個のみである。
したがって、 \(A\) の元の残り \(p-3\) 個は互いに同伴なものの組に分かれる。ゆえに
\begin{eqnarray}
1\cdot2\cdot\cdots\cdot(p-1)=(p-1)!&\equiv& r(p-r)a^{\frac{p-3}{2}}
&\equiv&-a^{\frac{p-1}{2}}
\end{eqnarray}
となる。よって
\((p-1)!\equiv -a^{\frac{p-1}{2}}\)

(2)
\(\left(\frac{a}{p}\right)=-1\) のとき、 \(x^2\equiv a\) は解をもたないから、(1)と同様にして
\((p-1)!\equiv a^{\frac{p-1}{2}}\)

ここで、 \(\left(\frac{1}{p}\right)=1\) だから(1)より \((p-1)!\equiv -1\)
よって、 \(\left(\frac{a}{p}\right)=1\) なら \(a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\) 、 \(\left(\frac{a}{p}\right)=-1\) なら \(a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\) となり結論を得る。
(参考:数学セミナー2016年2月号)