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数学徘徊記

自由な数学ブログ。

平方剰余の相互法則の証明(4)

整数論
補題3(ガウスの予備定理)
\(p\)を奇素数、\((a,p)=1\)とする。このとき
\[1\cdot a,2\cdot a,\cdots ,\frac{p-1}{2}\cdot a\]
のうち、\(p\)で割った余りが\(\frac{p}{2}\)より大きいものの個数を\(n\)とするとき、
\[\left(\frac{a}{p}\right)=(-1)^n\]
が成立する。

証明
\(1\cdot a,2\cdot a,\cdots ,\frac{p-1}{2}\cdot a\)の各々を\(p\)で割った余りを\(r\)とすると、\(0\leq r<p\)である。そこで、\(\frac{p}{2}<r<p\)なら\(r-p=r'\),\(0\leq r \leq \frac{p}{2}\)なら\(r=r'\)とおけば、\(-\frac{p}{2}<r \leq \frac{p}{2}\)である。この\(r'\)を絶対値最小の余りという。したがって、\(n\)は\(r'\)が負であるようなものの個数と一致する。そこで、
\[A=\{a,2a,\cdots,\frac{p-1}{2}a\},\]
\[B=\{\pm 1,\pm 2,\cdots,\pm \frac{p-1}{2}\}\]
とおく。\(A,B\)はともに、\(p\)と互いに素で法\(p\)に関して互いに合同でない数からなっている。したがって、\(A\)の各元は\(B\)のただ1つの元と\(p\)を法として合同であり、\(A\)の元\(ka\)が\(B\)の元\(b\)と合同なら\(-b\)と合同な\(A\)の元は存在しない。実際、
\[ka\equiv b, la\equiv -b,\]
\[1\leq k,l \leq \frac{p-1}{2}\]
ならば、\((k+l)a\equiv 0\)で\((a,p)=1\)だから、\(k+l\equiv 0\)。これは、\(2\leq k+l\leq p-1\)に反する。よって、
\[a\cdot 2a\cdot \cdots \cdot \frac{p-1}{2}a\equiv (-1)^n 1\cdot 2\cdot \cdots \cdot \frac{p-1}{2}\]
つまり
\[\left(\frac{p-1}{2}\right)!a^{\frac{p-1}{2}}\equiv (-1)^n \left(\frac{p-1}{2}\right)\]
ここで、\(\left(\left(\frac{p-1}{2}\right)!,p\right)\)だから、
\[a^{\frac{p-1}{2}}\equiv (-1)^n\]
一方、補題2より、\(\left(\frac{a}{p}\right)\equiv a^{\frac{p-1}{2}}\)であったから、両者をあわせて
\[\left(\frac{a}{p}\right)\equiv (-1)^n\]
が成立し、\(p\)は奇素数だから結論を得る。
(参考:数学セミナー2016年2月号)