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数学徘徊記

自由な数学ブログ。

平方剰余の相互法則の証明(5)

整数論
今回は平方剰余の相互法則を証明する前に、補充法則を証明する。

第1補充法則
\[\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}}\]
第2補充法則
\[\left(\frac{2}{p}\right)=(-1)^{\frac{p^2-1}{8}}\]
また、これは名前がついているかわからないのだが、重要な定理。
(一応、ここでは「平方剰余の積の法則」とでも呼んでおこう。)
\[\left(\frac{ab}{p}\right)=\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)\]


それぞれの証明を見ていこう。

第1補充法則


補題2(オイラーの基準)より明らか。(\(n=-1\)を代入すれば直ちに得られる。)

第2補充法則


\(2,4,6,\cdots ,p-5,p-3,p-1\)のうち\(\frac{p}{2}\)より大きいものの個数を\(n\)とすると、
\(n\)は\(1,3,5,\cdots\)の中で\(\frac{p}{2}\)より小さいものの個数にもなる。
補題3(ガウスの予備定理)より、(\(a=2\)を代入)
\(n\)の奇遇が判定できれば、\(\left(\frac{2}{p}\right)\)が求められる。
\(1,3,5,\cdots\)はすべて奇数なので、
\(1+3+5+\cdots +\frac{p-1}{2}\)が偶数ならば、\(n\)は偶数となり、
\(1+3+5+\cdots +\frac{p-1}{2}\)が奇数ならば、\(n\)は奇数となる。
\(1+3+5+\cdots +\frac{p-1}{2}=\frac{1}{2} \frac{p-1}{2} \left(\frac{p-1}{2}+1\right)=\frac{p^2-1}{8}\)
より、\(\frac{p^2-1}{8}\)と\(n\)の奇遇は一致する。
よって
\[\left(\frac{2}{p}\right)=(-1)^n=(-1)^{\frac{p^2-1}{8}}\]

平方剰余の積の法則


これも 補題2(オイラーの基準)より明らかである。
\[\left(\frac{ab}{p}\right)\equiv (ab)^\frac{p-1}{2} =a^\frac{p-1}{2} b^\frac{p-1}{2}\equiv \left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)\]また一番左の辺と一番右の辺は両方\(\pm 1\)だから、
\[\left(\frac{ab}{p}\right)=\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)\]