JJMO本選模試です!
— だま氏 (@dama_math) 2016年11月20日
例年よりは多少簡単なレベルだと思います。
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では、問4と問5の解答です。
問4
これは、点を置けるかどうかがカギになります。
所見でとれたらスゴいです。
解答
対称性より、点とはこの順に並ぶと仮定してよい。
の外接円と直線が交わる点をとする。
このとき、より、
4点P,D,A,Xは同一円周上にある。
よって、方べきの定理を使って
よって示された。
問5
これは、数学セミナーの2015年11月号の「エレガントな解答をもとむ」から出題。
問5らしい問題ではないでしょうか。
解答
「2点間のとりえる距離が2種類になる」という条件をとする。
正五角形の頂点はを満たすので、のときを満たす配置は存在しないことを示す。
まず次の補題を示す。
補題. もしを満たす6点からなる配置が存在したとすれば、そのなかに正三角形が含まれる。
証明. 配置の中のある点に注目する。この頂点とほかの5点とのそれぞれの距離は2種類なので、5つの点のなかに、同じ長さの距離をとる3点が存在する。これをとし、とおく。もしの中に長さがとなるものが存在したとすれば、一辺がの正三角形が含まれる。またそうでないときは、となるので、が正三角形となる。よって示された。
つぎに、正三角形が存在することが分かったので、正三角形に点を追加する方針で考える。
正三角形に点を追加してを満たすようにするとき、新しく点を追加できる位置は下の図のような場所しかない。
6点以上追加する場合、正三角形に3点以上追加する必要がある。を満たすためには新しくできる長さを同じにする必要があるため、考えられる配置は次の3つに限られる。
しかし、これらはすべてを満たさない。よって6点以上からなる配置は存在しない。
補足
証明で使われた補題は、ラムゼーの定理と呼ばれています。
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