鯵坂もっちょさんのこのツイートが気になったので、考察してみました。
そもそも10進法2017の各桁の和も10だしn進法2017各桁の和がnになるのはほかにも10,19,22,25,29,33,37,43,49,57,64,73,85,97,113,127...といっぱいある けど2018には一つもない! ふしぎ!
— 鯵坂もっちょ@通販開始! (@motcho_tw) 2017年1月3日
2017を進法でこう書き表したとします。
(のときは自明に成り立つので、とします。)
ただし、はそれぞれ0以上以下の整数です。
すると各桁の和がになるということなので、
です。
以上まとめて、
となります。
ここで、①から②を引いてみましょう。
…③
となります。
この左辺に注目です。
(は正整数)というかたちがたくさんできましたが、
じつはこれらはという風に因数分解できます。
つまり、はすべてで割り切れます。
なので、左辺はで割り切れることが分かります。
③が成り立つためには、もで割り切れなければいけません。
なので、
がで割り切れる 2016がで割り切れる
ということが分かります。
つまり、2017を進法で書き表したら各桁の和がになるとき、
が2016の約数である必要があります。
ただし、必ずしも逆は成り立ちません。
(が2016の約数であっても、2017を進法で書き表したら各桁の和がになるとは限らない)
しかし、なので、2016の約数はたくさん(36個)あるので、
候補となるはたくさんあり、それだけ条件を満たすは多くなります。
では、2018を進法で書き表したら各桁の和がになるようなについて考えましょう。
同じような方針で計算していくと、が2017の約数である必要があります。
しかし、2017は素数です。n=2しか候補はありません(なので)。
2017を2進法で表すと11111100001であり、各桁の和は7なのでこれは条件を満たしません。
というわけで、2018を進法で書き表したら各桁の和がになるようなはないのです。
というわけで、2017がこのような性質を持てたのは2016のおかげなんですね。
昨年の2016はいろいろな性質を持っていましたが、今年も「2016+1」としていろいろな性質がありそうです。