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数学徘徊記

自由な数学ブログ。

平方剰余の相互法則の証明(6)

整数論

これがラスト。

更新が遅れてしまったが、
平方剰余の相互法則を証明しよう。

\(p,q\)を互いに異なる奇素数とする。そのとき、
\[\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}\]が成り立つ。

これは格子を使った照明が一番簡明である。
koshi

上の図の正方格子において\(x\)軸上に\(OA=\frac{p+1}{2}\)を、\(y\)軸上に\(OB=\frac{q+1}{2}\)をとって長方形\(OACB\)の内部の格子点を考察する。いま、直線\(\frac{y}{x}=\frac{q}{p}\)を\(OL\)とする。横線\(OM=x\)に対応する\(OL\)上の点を\(P\)とすれば、\(MP=\frac{qx}{p}\)。
ゆえに\(x\)を\(1,2,\cdots,\frac{p-1}{2}\)とするとき、\(qx\)を\(p\)で割った剰余が\(\frac{p}{2}\)よりも大きいのは、\(\frac{qx}{p}\)の分数部分が\(\frac{1}{2}\)よりも大きいときで、すなわち\(P\)を通る縦線上で\(P\)から\(\frac{1}{2}\)の距離にある格子点が\(OL\)の上側にあるときに限る。ゆえに\(\left(\frac{q}{p}\right)=(-1)^n\)における\(n\)は\(OL\)とそれを\(y\)軸の向きに\(\frac{1}{2}\)だけ平行に移動した\(GG'\)とにはさまれる平行四辺形\(OGG'L\)の内部にある格子点の数である。
同様に\(\left(\frac{p}{q}\right)=(-1)^m\)における\(m\)は\(OL\)とそれを\(x\)軸の向きに\(\frac{1}{2}\)だけ平行に移動した\(HH'\)とにはさまれる平行四辺形\(OHH'L\)の内部にある格子点の数である。
すなわち\(\left(\frac{q}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)=(-1)^{m+n}\)における\(m+n\)はこれら2つの平行四辺形の内部にある格子点の総数であるが、図に示すように格子点\(C\left(\frac{p+1}{2},\frac{q+1}{2}\right)\)を一頂点とする、一辺が\(\frac{1}{2}\)である小正方形{CG'LH'}を付け加えて六角{OGG'CH'H}を作れば、その内部にある格子点の数はやはり\(m+n\)である。
さて\(OC\)の中点\(\left(\frac{p+1}{4},\frac{q+1}{4}\right)\)はこの六角形の対称の中心で、格子点はこの点に関して2つずつ互いに対称であることは作図によって明白である。ゆえに\(m+n\)が奇数であるか、偶数であるかは、中心\(\left(\frac{p+1}{4},\frac{q+1}{4}\right)\)それ自身が格子点であるか、または格子点でないかによって決定される。
ゆえに\(\frac{p+1}{4},\frac{q+1}{4}\)がともに整数、すなわち\(p,q\)がともに\(4t-1\)の形の素数であるときに限って、\(m+n\)が奇数、したがって
\[\left(\frac{q}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)=-1\]
である。すなわち平方剰余の相互法則が証明された。
あるいはまた三角形\(GG'B,HH'A\)は同数の格子点を含むから、それを\(k\)とすれば、長方形\(OACB\)の内部の格子点の総数は\(m+n+2k\)である。しかるに長方形の内部には明らかに
\[\frac{p+1}{2}\cdot\frac{q+1}{2}\]
の格子点があるから
\[\left(\frac{q}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)=(-1)^{m+n}=(-1)^{m+n+2k}=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}\]

(参考:初等整数論講義)