院試を受験しました

簡単な自己紹介

記事を書いて無さ過ぎて，今どんなことをしているのかわからないと思うので，簡単に自己紹介しようと思います．

私は現在京都大学理学部に所属しています．

興味を持っている分野は表現論で，講究（4年次の授業で，少人数で教授と一緒にセミナーを行う．卒論の代わりみたいなもの）では荒川知幸先生と Frenkel, Ben-Zvi の Vertex Algebras and Algebraic Curves を読んでいます．

表現論といってもいろいろあり，まだどれを研究しようかあまり定まっていないですが，頂点代数や量子群など，新しい代数系の表現論をやりたいなとぼんやり考えています．

名古屋大学大学院多元数理科学研究科

京都大学一本で行くのは不安だったので受験しました．名古屋大学には表現論の先生が多いのも理由です．

試験は2つあり，1つ目は1年次で習う線形代数や微積分，2つ目は2年次で習う線形代数や微積分，複素解析や集合と位相から出題されます．3年以降で学ぶ内容や，英語は出題されません．面接もありません．

過去問をパッと見た感じ解けそうだったので，多元数理のための対策はほぼしませんでした．

本番は，過去問よりやや手数が多い感じがしたものの，完答し一通り見直しをしたつもりです．

合格発表は3日後くらいでした．合格していました．

京都大学大学院理学研究科

京都大学には数学の大学院が，数学教室とRIMSの2つあります．大きな違いは，所属するメンバーが違うこと以外はあまりないように思います．表現論だと，数学教室には加藤周先生が，RIMSには荒川知幸先生が所属しています．

出願

数学教室とRIMSは両方出願することができます．2つ申し込んだ方がお得です．

出願する際には，数学教室とRIMSのどちらを第一志望にするか，そして数学教室とRIMSそれぞれにおいて，どの分野と教員を希望するかを書かなくてはいけません．

個人的な話をすると，これにめちゃくちゃ迷いました．かなりストレスでした．そもそも僕が表現論をやろうと決めたのは去年の秋であり，表現論について基礎的な内容は学んだものの，加藤先生と荒川先生のどちらの専攻に興味が近いかはまだ定まっていませんでした．また，応用的な数学にも興味を持っており，特に3年の後期で受講したパーシステントホモロジーの授業が面白かったため，平岡裕章先生を第一志望にしようかとも思っていました．とりあえず加藤先生と平岡先生の研究室に訪問しました．また，講究を聞きに来ている大学院生（荒川先生の弟子）にも相談しました．そして，

• まだあまり数学を勉強した気になってないので，修士では純粋数学をやりたい
• 異なる表現論を統一する枠組みを考えているという点で，加藤先生の方が興味に近い？

という理由で，加藤先生を第一志望にしました．

とはいえ，出願から現在までで頂点代数に対する興味が高まっており，自分の判断にまだ自信を持てていません……．　どこかでけりをつけないといけないのですが．

RIMSを出願する際は，「今まで勉強した内容」と「興味をもった定理」の2つのレポートを提出しなければいけません．それぞれある程度書く必要があり，結構なハードルです．私の場合，今まで勉強した内容については有限群・リー群・リー環の表現論の簡単なまとめみたいなのを書きました．（分野にこだわらず，学んだことを簡単に書いた人もいました．自分の書き方はあっていたのでしょうか？）興味をもった定理の方は，Weyl の指標公式や，ユニタリ群の有限次元表現の分類について書きました．書くのは大変ですが，書くことで自分の知識が整理されるので，ものすごく自分のためになると思います．

対策

4月から院試ゼミに参加しました．週1回，京大の院試の過去問で解く年を決めて，みんなで解いてきて，解法を確認しあうという形式でした．特に微積分のテクニックをあまり知らなかったので，ためになりました．

専門分野の環論は代数幾何学に背景をもつ問題が多いように感じます．Atiyah-Macdonald や，Mumford の Red Book の1章などの，重要そうなところをかいつまんで読んでいきました．最近出版された永井保成先生の代数幾何学入門もいい本でした．（院試関係なく，スキームの理論に時間をかける前に，自分が代数幾何学に興味を持てるかを確かめられる点で，とても良い本だと思います．）

試験：基礎科目

時間は3時間半，数学教室志望は1～6の全問を解く必要があります．

以下，ネタバレ注意です！

問題1

見た目にビビりますが，とりあえず手を動かそうと極座標変換したら解けてしまいました．

Twitterで，, という変換を見ました．天才か？

問題2

計算量も多くない普通の行列の問題です．

問題3

ちょっと考えれば簡単な問題です．

問題4

微積分が苦手な割にはすっと解けました．(2)と(3)は， と に分割し，それぞれいい感じに変数変換して解きました．

問題5

標準的な複素解析の問題だと思います．

問題6

まさに前書いた記事のようにやれば解ける問題でびっくりしました．
su-hai.hatenablog.com
最後の1分で求めるものが臨界値であることに気が付きました．

感想

個人的に上振れを引いた印象です．1時間くらい見直しできました．おそらく完答出来ていると思います．

試験：専門科目

時間は2時間半，2問を選択する形式です．代数の問題が3問あって嬉しかったです．

問題1

(1)と(2)はすぐにわかりましたが，(3)はちょっと考えてもわかりませんでした．飛ばしました．問題2と3の答案を書いた後にしばらく考えたらわかりました．できることが多い分，クリティカルな議論をするのが難しいと思います．

問題2

一目見てどうせこれだろと思い，実際にそうだったので，すぐに解けました．頂点代数のおかげで形式的べき級数に慣れていたのもあると思います．ちゃんと記述しました．

問題3

いつもの Galois 理論の問題と同じように根の情報を見つけていくと解けました．標準的な難易度だと個人的には思いました．

しかし！！！　最後の20分で，既約性を示していないことに気が付き，すこし経ってこれが非自明なことに気が付きました．あまり時間がなく，記述が雑になってしまいました．簡単に書くと，既約でないと仮定したとき，

1. 実根をもたないから2次の既約因子をもつ．
2. 今までの議論から，上の既約因子は に根をもつ．
3. 根は代数的整数で， は整閉であるから，根は （ は整数）と書ける．
4. ノルムを見ると となるが，そのどの解も条件をみたさない．

という方針で記述しましたが，後でいくつか証明漏れを見つけたので，減点されていると思います．

に落として既約性を示す方針もあるようです．

感想

問題2と3を解けたと思い，問題1を考えたのは本当に良くなかったです．慢心は良くないですね．

試験：英語

和訳に関しては本を1冊訳したので自信を持っていました．（特にこれといって英語に詳しいわけではもちろんないです）

数学オリンピック幾何への挑戦　ユークリッド幾何学をめぐる船旅

正直言うとあまり英語の試験では差が付かないと思うのであまり深く考えていませんでした．

感想と言っても，普通かな～としか言えないです．

面接：RIMS

1時30分に面接に通過したか貼り出されるのですが，受かったことよりも，その日の2時！？！？と衝撃を受けました．

面接官は7～8人くらいだった気がします．モニターがあり，撮影されてZoomに映ってました．

最初に形式的な質問（出身大学や，講究など）をされました．荒川先生が「講究の教員は誰でしたか？」と聞くのシュールだな～と思いました．

（荒川）試験の出来について教えてください．

（私）基礎は概ねできたと思います．専門は問題3の最後の議論が雑になってしまったと思います．

（荒川）そうだと思います．
（荒川）さて，レポートではルート系について書いていましたが， の Cartan 行列について教えてください．

試験の内容それだけ！？！？！？　というか Cartan 行列について覚えてなくてヤバい！！！
ここに関しては本当に自分が悪いとしか言えないです．

（私）Dynkin 図形はこうで～（なぜか点を3つ書く）～～　すみません，Cartan 行列をよく覚えてないです…

（荒川）では の有限次元既約表現を記述してください．

（私） 次元の既約表現のウェイトはこうで， の基底はこうで，こういう風に作用します．

（荒川）では の有限次元既約表現について教えてください．

（私）最高ウェイトと対応していて，それは2つの非負整数 でパラメータ付けされます．

（荒川）2つの非負整数とはどういう風に対応してますか？

（私） の正のルートはこれで，基本ルートはこれで， はその固有値です．あっ，基本ルートは2個だから Dynkin 図形はこうですね．

（荒川）では と対応する既約表現の次元は何ですか？

（私）（ウェイトの図を描く）

（荒川）ウェイトがわかっても次元はわからなくないですか？

（私）確かにそうですね……．　あっ Weyl の次元公式を使うべきですね．覚えてないですが．

（荒川）知ってたら大丈夫です．

（他の先生）4番は解いてきましたか？

（私）解いてないです……．

全体的にガバってました．Lie 環の有限次元表現については試験の数日前に勉強していたから助かったものの，例えば の Cartan 行列や Dynkin 図形はノータイムでちゃんと答えられるべきでした．数学の勉強をサボっているのがバレた……．

面接：数学教室

数学教室の面接はRIMSの面接の次の日でした．RIMSの面接でガバってたので，聞かれそうなことの復習をちゃんとしました．もちろん の Cartan 行列も答えられるようにしました．

面接官は6人でした．形式的な質問のあと，

（加藤）試験の出来を教えてください．
（私）なんちゃらかんちゃら～～
（加藤）読んだ本を教えてください．
（私）うんちゃらかんちゃら～～
（加藤）面白いと思った定理を教えてください．
（私）（RIMSのレポートで書いた Weyl の指標公式の話をする）

という感じでした．特につっかえることなく話せたと思います．

結局試験については何も聞かれませんでした．

合否

数学教室に合格しました！

開示もしてみました．基礎が285/300，専門が190/200，面接がAでした．思ったより専門が高くてびっくり．

ユークリッド空間に埋め込まれた多様体から多様体への射の微分の階数の計算

院試対策ついでに，超久々に記事を書きました．間違っている部分や，「こうしたほうが簡明になる・本質的だ」という指摘を受け付けております．

2023/8/14　誤植修正・追記

www.dropbox.com

京大理学部特色受験記

受験記です！！！そうですね。受験記ですね。
(※2020/2/12 追記しました)

京都大学理学部の特色入試を受験しました。

これを書いている時点では2次の試験の1週間前です。まずは2次の試験の前の選考についてや意気込みとかを書いていきます。
RIOTのDogma Resistance LPを聞きながら書いています。最高ですね。ぜひ。

書類選考

大体通るので普通に書くくらいで十分だと思います。
参考→http://www.tokushoku.gakusei.kyoto-u.ac.jp/capacity

ただし、京大特色受験者に話を聞いたのですが、学びの報告書に「○○を学びました！」(実際は理解が曖昧)と書くと、面接のときにもしそれに詳しい教授がいたら質問に困る、ということでした。気を付けましょう。
面接がいい感じになりそうなことを書けばいいのではないかなと思います。

試験対策

limrim-soeasymath.hatenablog.com
試験がどのような感じかはこれを見ればわかると思います。

サンプル問題と過去問は全部解きました。特に2016年度と2019年度のものは時間を計って解きました(それぞれ自称全完、3完半)。
傾向が若干つかめた気がします。

自分の場合は数学オリンピックの問題をずっと解いてきたので、特色対策に特にやったことはあまりないです。ただ、数学オリンピックの問題を解くことはいい影響があるように思います(とくに代数分野)。

意気込み

筆記試験で自分の実力がちゃんと出れば…という感じです。
全完しようとすると逆に失敗するので、まずは解ける問題から固く2完3完して、そこからゆっくりと考え始めるのがいいと思いました。この作戦が吉と出るか凶と出るか…
面接は全然わからないのでとりあえずこの本をざっくり読みました。自分の学びの報告書やアドミッションポリシーを読みました。

ゼロから逆転合格! AO・推薦入試 面接 面接DVD&サクセスノートつき

筆記試験

ここから試験後当日書いたパートです。面接に行けるかの発表を待っています。

解答用紙は1問ずつ、冊子みたいになってました。
名前を書きましょう。

とりあえず問題を1問10分ずつ考えます。1がつらそうで、2、3、4はいけそうってなりました。
特に4はぱっと見むずそうってなりましたが割とすぐに解答を思いつきました。
4、3、2の順に解答を書いていきました。解けたら書く！という方針。

1で辛いなあってなりました。(1)ができて、(2)はあと少しで、(3)はやってないです。

試験が終わりました。友達や先輩方と交流しました。
学食を食べて古本屋に行き数学書を買いました。

そのあとサイゼで復習。1できるやん…

面接15分くらい前に3で致命的なミスをしていることに気付く。かなしいね。つらいさんになっています。

問題ごとの感想

1

(1)ははい。
(2)は、まずお気持ちヌマクローリン展開して、\(a_n\)の予想を出して、そこから天下り的にその数列を用意して、答えがそれに一致することを示す形でやりました。
\(n\)次の部分和となる多項式\(P_n(x)\)を定めて、それが(1)みたいな式を満たすことを確認して、引いて\(f(x)-P_n(x)\)が満たす式を作って、\(n-2\)回微分するみたいな方針で行けそうだなーということを書いて試験が終了しました。
実際その方針で解答を完結できたので、惜しいなあという気持ち。
(3)は時間がなかったので全くやってませんでしたが、小さい項を抑えるだけだし、数列の予想が立ってるんだったらやっとけよ…と自省してます。

2

普通の確立漸化式ですよね。なんで特色で出した?
(3)も特に難しいわけではないし。

3

(1)はどうやってもできますが…
(2)で、\(f(x),g(x)\)は任意の多項式なのにそのまま(1)を使っていました(は??????)
さすがにひどすぎる。数学やめろ。なぜ気づかなかった?????
面接前の15分で修正。(1)の不等式の劣化版(\(1/x\)をより弱い単調減少なものにしたやつ)を示せばOKで、それは割と大雑把な評価で行けるはず。

4

これ結構すぐ解答を思いつきました。やったぜ。
2点\(A,B\)を固定して、点\(P\)がある線分上を動くとき、その端点の少なくとも一方で最大値となることを使えば、3点を端っこに持って行けて最終的に全部頂点まで持って行けます。

全体の感想

落ち着きましょう…
また1と3は解析の慣れが重要だった気がします。

面接

通ったのは14人っぽい。
一人当たり20分でした。
自分の場合こんなかんじでした。
「受験番号を言ってください。」
「****番です。」
「昨日の試験の出来はどうでしたか。」
「2番と4番は完答できたのではないかと思います。3問目は、(2)でそのまま(1)を使うという致命的なミスをしました。1は(1)はできたのですが、(2)で方針で止まってしまい、(3)については何もできませんでした。」
「1番の(2)については考えてきましたか。」
「はい。」
「後ろの黒板で説明してください。」
(うんたらかんたら説明した。若干大雑把に解答を説明していった。面接官方は不明瞭なところを的確に指摘したが、それらにしっかり答えられたはず。)
「ありがとうございました。どのように数列\(\{a_n\}\)を予想しましたか?」
「厳密ではないのですが、\(f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots\)と書けるとし、(1)を使って係数を比較して求めました。」
「そう展開できるという事実は知っていましたか。」
「その事実については聞いたことがあるくらいで、あまり勉強していません。」←勉強したとかいうのが怖かったので
「ありがとうございました。これで面接を終了です。」

これだけ…？という気持ちでした。説明に時間を使いすぎちゃったかな…

てかあの面接の本別にいらなかったじゃん。
でも何聞かれるかわからないしいらないわけではなさそう?? わかりません…

合格発表までのメンタルの保ち方

辛いです。辛いです。辛いです。(大事なことなので3回言いました)
想像するよりもはるかに辛いです。
落ちてたらどうしよう…とか受験勉強しなきゃな…とかいろいろな感情が襲ってきます。
いや、一番は「1日目で採点そっこーで終わったんならすぐに結果出せよ！！！！」という感情です。

本題のメンタルの保ち方は
・とりあえず過去問とかを解く。物理とか化学とかパズルみたいで楽しいナ～～みたいな気持ちでいきましょう。
・とりあえず英単語を覚える。
・とにかく忘れることが大切。

結果

一次合格しました！！！！！！！！やったーーーーーーー！！！！！！！！！！
あとは書類の提出とセンター試験です。

ここで送る必要のある書類が発生します。注意しましょう。

冬休み

ここからは2020年2月12日に追記したパートです
ここまで来ると楽です。なにせセンター630点とればいいだけなので。

冬休みはいろいろ遊べます。数学の勉強をしたりバンドリやってたりしてました。
ここまですると親に心配されます。「お前ほんとにセンターの勉強をしなくて大丈夫なのか」って。僕は「さすがに7割は余裕だろｗｗｗｗ」と答えるわけですが親というものは心配性なのでなかなか信用しません。結局受験勉強はせず数学とバンドリをやってました。

センター試験

点数よりも、氏名を書くこと、受験する科目を間違えないこと(特に数Ⅱと数ⅡBなど)、マークミスしないことに注意しましょう。

センター試験はなぜか調子よくて、自己採点してて思ったよりも点数が取れていて爆笑してました。自己採点で840点でした。

合格発表

流石に通るやろ、通ってなかったら爆笑だな、みたいな気持ちになります。

流石に通っていました。安心安心。

開示

ここからは2020年5月31日に追記したパートです
二週間くらい前だったか、開示が来ました。
数学：60/80
面接：15.2/20
でした。
2完2半弱くらいで60点弱かな？と思っていたので少し上でした。
あと合格者平均点が例年よりやや低かったようで、難しい問題は難しかったのだなと思いました。

Wilsonの定理の組み合わせ論的な証明

思いついたので.
Wilsonの定理
\(p\)を素数とするとき, \( (p-1)! \equiv -1 \pmod p\).

証明
(いくつか証明を略しているところがありますが埋めるのは難しくないです)

\(\mathbb{Z}_p\)の要素\(\{0,1,\dots,p-1\}\)の置換\( (q_0,\dots,q_{p-1})\)の集合を\[(q_0,\dots,q_{p-1})\sim (q'_0,\dots,q'_{p-1}) \\ \Leftrightarrow q_0-q'_0=\cdots=q_{p-1}-q'_{p-1}\]という同値関係で割った集合を\(A\)と置くとき, \(|A|=(p-1)!\)である. また, 群\(\mathbb{Z}_p\)の\(A\)に対する作用を, \(a\in \mathbb{Z}_p\)に対し\[a(q_0,\dots,q_{p-1})= (q_a,\dots,q_{p-1+a})\](添え字は\(\mathrm{mod}\ p\))で定めると, \(a\)によって固定される\(A\)の要素は\(a=0\)のとき\( (p-1)!\)個, \(a\neq 0\)のとき\(p-1\)個である. するとバーンサイドの補題より, 軌道の数は\(\cfrac{(p-1)!+(p-1)^2}{p}\)で, これは整数なので, \( (p-1)!\equiv -1 \pmod p\)である. ■

Ramanujan-Nagell equation

何年ぶりの整数論だろう…
おもに整数論とか書いてあるくせに…
すみません

問題

不定方程式\(x^2+7=2^n\)の正の整数解をすべて求めよ.

実験

小さい\(n\)をいろいろ代入してみましょう.
\[\begin{eqnarray}
2^3-7&=&1&=&1^2\\
2^4-7&=&9&=&3^2\\
2^5-7&=&25&=&5^2\\
2^6-7&=&57\\
2^7-7&=&121&=&11^2\\
2^8-7&=&249\\
2^9-7&=&505\\
2^{10}-7&=&1017\\
2^{11}-7&=&2041\\
2^{12}-7&=&4089\\
2^{13}-7&=&8185\\
2^{14}-7&=&16377\\
2^{15}-7&=&32761&=&181^2\\
2^{16}-7&=&65529\\
\end{eqnarray}\]
となります.
\(n=15\)とかいう大きい解があります…やばそうです

じつは解がこれだけだということが証明されています
かの有名なRamanujanが予想し, Nagellが証明したのでこう呼ばれています

準備

ちょっとした二次体の整数論の知識を仮定しています.
\[A=\{m+n\cdot \frac{1+\sqrt{-7}}{2}|m,n\in \mathbb{Z}\}\]という集合を考えると, これは環となります.
少し難しい言葉を使うと, \(A\)は\(\mathbb{Q}(\sqrt{-7})\)の整閉包です.
\(A\)は通常の絶対値で余りのある除算ができるのでUFD(ユークリッド整域)になります.
UFDは素元分解環です.
また単元は1, -1のみです.

\(a,b\in A(a\neq 0)\)において, \(b\)が\(a\)で割り切れることを\(a|b\)と表すこととします.
\(a,b,c\in A(c\neq 0)\)において, \(c|(a-b)\)であることを\(a\equiv b \pmod c\)と表すこととします.

解答

http://buzzard.ups.edu/courses/2013spring/projects/spencer-ant-ups-434-2013.pdf
これによりました(下の解答では誤植などを直してます).
ここからである調になります.

解は\((x,n)=(1,3),(3,4),(5,5),(11,7),(181,15)\)だけであることを証明する.
・\(n\)が偶数のとき
\[7=2^n-x^2=(2^{n/2}-x)(2^{n/2}+x)\]と変形できる. すると\((x,n)=(3,4)\)のみであることがわかる.

・\(n\)が奇数のとき
\(n\leq 3\)のときは個別に確かめることで, \(n=3\)のときのみ解となることがわかる.
以下, \(n \geq 5\)とする.
\(n-2=m\)とおく. \(x\)はあきらかに奇数. よって\(\cfrac{x\pm \sqrt{-7}}{2}\)は\(A\)の要素.
\[\left(\frac{x+\sqrt{-7}}{2}\right)\left(\frac{x-\sqrt{-7}}{2}\right)=\left(\frac{1+\sqrt{-7}}{2}\right)^m\left(\frac{1-\sqrt{-7}}{2}\right)^m\]と変形できる.
\(\cfrac{x+\sqrt{-7}}{2},\cfrac{x-\sqrt{-7}}{2}\)はともに2の倍数でないので,
\[\cfrac{x+\sqrt{-7}}{2}=\left(\cfrac{x\pm\sqrt{-7}}{2}\right)^m, \cfrac{x-\sqrt{-7}}{2}=\left(\cfrac{x\mp\sqrt{-7}}{2}\right)^m\]となる.
\(\cfrac{1+\sqrt{-7}}{2}=\alpha, \cfrac{1-\sqrt{-7}}{2}=\beta\)とおく.

補題1. \(\alpha ^m-\beta ^m=-\sqrt{-7}\)
証明. \(\alpha ^m-\beta ^m=\sqrt{-7}\)と仮定して矛盾を導く.
\[\begin{eqnarray}
\alpha ^2&=&(1-\beta)^2\\
&=&1-2\beta+\beta^2\\
&=&1-\alpha\beta^2+\beta^2\\
&\equiv&1 \pmod{\beta^2}
\end{eqnarray}\]であるので\(m\)は奇数より\(\alpha ^m\equiv\alpha \pmod{\beta^2}. \)一方で\(\alpha-\beta=\sqrt{-7}\)より\(\alpha ^m-\beta^m=\alpha-\beta\)である. \(m\geq 3\)より\(\alpha^m\equiv \alpha-\beta \pmod{\beta^2}\).
上の結果と合わせると\(\beta\equiv 0\pmod{\beta^2}\)であるがこれは矛盾.
よって\(\alpha ^m-\beta ^m=-\sqrt{-7}\)である. ■

\(\alpha ^m-\beta ^m=-\sqrt{-7}\)より
\[\begin{eqnarray}
-2^m\sqrt{-7}&=&(1+\sqrt{-7})^m-(1-\sqrt{-7})^m\\
&=&\sum^m_{i=0}{_m{\rm C}_i(\sqrt{-7})^i}-\sum^m_{i=0}{{}_m{\rm C}_i(-\sqrt{-7})^i}\\
-2^{m- 1}&=&{}_m{\rm C}_1-{}_m{\rm C}_3\cdot 7+{}_m{\rm C}_5\cdot 7^2-\cdots\pm {}_m{\rm C}_m\cdot 7^{(m- 1)/2}\\
&\equiv&m\pmod 7
\end{eqnarray}\]
\(-2^{m- 1}-m\)は\({\rm mod}\ 42\)で等しいので\(m\)を1から41までの奇数をすべて試して頑張ると\(m\equiv 3,5,13\pmod{42}\)を得る.

\(m=3,5,13\)のとき\(\alpha ^m-\beta ^m=-\sqrt{-7}\)となることが確かめられる. \(\alpha ^m-\beta ^m=-\sqrt{-7}\)が成り立つ奇数\(m\)は\(m=3,5,13\)のみであることを示す.
これ以外に解が存在すると仮定する. すると, それは\({\rm mod}\ 42\)で3, 5, 13のいずれかと等しくなる. よって3以上の奇数\(m,m_1(m< m_1)\)であって, \(m\equiv m_1\pmod{42}\)かつ\(\alpha ^m-\beta ^m=\alpha ^{m_1}-\beta ^{m_1}=-\sqrt{-7}\)となるものが存在する.
\(a\in A\)について, \(a\)が7で割り切れる回数の最大を\({\rm ord}_7(a)\)と表す.
\({\rm ord}_7(m_1-m)=l\)と仮定する. 方針としては, \(7^{l+1}|m_1-m\)を示して矛盾を導く.

\[\alpha^{m_1}=\alpha^m\alpha^{m_1-m}=\alpha^m\left(\frac 12\right)^{m_1-m}(1+\sqrt{-7})^{m_1-m}\ \ \cdots(*)\]である.

補題2.1. \[\left(\frac 12 \right)^{m_1-m}\equiv 1 \pmod{7^{l+1}}\]
証明. \(\phi(7^{l+1})=6\cdot 7^l\ |\ (m_1-m)\)であるので, Eulerの公式より従う. ■

補題2.2. \[(1+\sqrt{-7})^{m_1-m}\equiv 1+(m_1-m)\sqrt{-7} \pmod{7^{l+1}}\]
証明.
\[(1+\sqrt{-7})^{m_1-m}=1+(m_1-m)\sqrt{-7}+\sum^{m_1-m}_{i=2}{}_{m_1-m}{\rm C}_i\sqrt{-7}^i\]ここで\[{}_{m_1-m}{\rm C}_i=\frac{(m_1-m)(m_1-m- 1)\cdots(m_1-m-i+1)}{1\cdot 2\cdot \cdots\cdot i}\]である.
実数\(x\)において\(x\)を超えない最大の整数を\([x]\)と表す.
\[{\rm ord}_7(i!)=\sum^\infty _{j=1}\left[\frac{i}{7^j}\right]\leq \sum^\infty _{j=1}\frac{i}{7^j}=\frac i6\]であり, \({\rm ord}_7(\sqrt{-7}^i)=[i/2]\)である.
\(i\geq 4\)のとき\([i/2]\geq i/6+1\)であり, \(2\leq i\leq 3\)のときも\({}_{m_1-m}{\rm C}_i\)は\(7^l\)で割り切れるので, \(7^{l+1}|{}_{m_1-m}{\rm C}_i\sqrt{-7}^i\). したがって\((1+\sqrt{-7})^{m_1-m}\equiv 1+(m_1-m)\sqrt{-7} \pmod{7^{l+1}}\)を得る. ■

補題2.3. \[\alpha^m\equiv \frac{1+m\sqrt{-7}}{2^m}\pmod 7\]
証明. 二項定理で展開すれば明らか. ■

(*)を, 補題2.1～2.3と\(7^l|(m_1-m)\)に注意しながら変形すると,
\[\begin{eqnarray}
\alpha^{m_1}&\equiv& \alpha^m\cdot 1\cdot (1+(m_1-m)\sqrt{-7}) &\pmod{7^{l+1}}&\\
&\equiv& \alpha^m+\alpha^m(m_1-m)\sqrt{-7} &\pmod{7^{l+1}}&\\
&\equiv& \alpha^m+\left(\frac{1+m\sqrt{-7}}{2^m}\right)(m_1-m)\sqrt{-7} &\pmod{7^{l+1}}&\\
&\equiv& \alpha^m+\frac{(m_1-m)\sqrt{-7}}{2^m} &\pmod{7^{l+1}}&\\
\end{eqnarray}\]である. 共役をとって\[\beta^{m_1}\equiv \beta^m-\frac{(m_1-m)\sqrt{-7}}{2^m}\pmod{7^{l+1}}\]である.
\(\alpha ^m-\beta ^m=\alpha ^{m_1}-\beta ^{m_1}\)であったので\[\frac{(m_1-m)\sqrt{-7}}{2^{m- 1}}\equiv 0 \pmod{7^{l+1}}\]より\(7^{l+1}|(m_1-m)\)となるが, これは\({\rm ord}_7(m_1-m)=l\)に矛盾. よってこのような\(m,m_1\)は存在せず, \(m=3,5,15\)のみであることが示された.
また, \(n=m+2=5,7,17\)はすべて解となるので, \(n=3,4\)と合わせると, 解は\((x,n)=(1,3),(3,4),(5,5),(11,7),(181,15)\)であることが示された. ■

ある長方形の問題の8通りの解答

定理

ある長方形\(R\)が, 少なくとも1つの辺の長さが整数であるような有限個の長方形に分割されているとする. このとき\(R\)も少なくとも1つの辺の長さが整数である.

記事の概要

好きな証明 Advent Calendar 2018 の18日目の記事です.
adventar.org
上の定理に8通りの異なる証明を与えます.
この記事はFourteen Proofs of a Result About Tiling a Rectangle を参考にしました. この論文では14もの証明や, その一般化について紹介しています(まだ読み切れていません…).

定義

長方形において幅を横の長さ, 高さを縦の長さとする. 長方形\(R\)の部分となっている長方形をタイル, そのうち幅が整数のものを\(H\)タイル(horizontal), 高さが整数のものを\(V\)タイル(vertical)とする. また長方形\(R\)が標準の位置にあるとは, 各辺が軸に平行であり, 左下の頂点が\(xy\)座標の原点にあることをいう. 長方形の頂点を角ということにする(グラフの頂点と区別するため).
また, 少なくとも1つの辺の長さが整数であるような長方形をキチン長方形ということとする(数学セミナー2018年10月号の時枝正先生の連載記事「試験のゆめ・数理のうつつ／多変数微積分：渦巻く場，秘法εε＝δδ－δδ」より, この表現を借りました).
\([x]\)で\(x\)を超えない最大の整数を表す.
\(xy\)平面上の格子点とは, \(x\)座標と\(y\)座標がともに整数であるような点のことを言う.

証明

(1) 二重積分

\(xy\)平面上の, 各辺が軸に平行である長方形\(T\)について, 頂点の座標が\((a,c),(b,c),(a,d),(b,d)\)であるとする.
すると
\[\begin{eqnarray}
\iint_T e^{2\pi i(x+y)}dxdy&=&\int^d_c\int^b_a e^{2\pi i(x+y)}dxdy \\
&=&-\frac{1}{4\pi^2}(e^{2\pi ib}-e^{2\pi ia})(e^{2\pi id}-e^{2\pi ic})
\end{eqnarray}\]より,
\[\begin{eqnarray}
\iint_T e^{2\pi i(x+y)}dxdy=0&\Leftrightarrow& b-a, d-cの少なくとも1つが整数\\
&\Leftrightarrow& Tがキチン長方形
\end{eqnarray}\]
である.
仮定より各タイルにおいてこの積分の値は0であるため、\(R\)全体でもこの積分の値は0. よって\(R\)がキチン長方形であることが示された. ■

これは定理の発見者オリジナルの証明だそうです.
どこから積分が出てくるんだ…? という気持ちになりますが, こう考えると自然です.
たとえば, 「8×8のチェス盤の右上と左下のマスを切り取る. これを1×2のドミノで埋め尽くせるか?」という有名問題がありますが, これはチェス盤を黒と白の市松模様で埋め尽くすことで, できないことが証明できます. ここで黒を1, 白を0と考えてみましょう. するとチェス盤の色塗りは\(\mathbb{R}^2\)から\(\mathbb{R}\)への関数とみなせます. そして「どうドミノを置いても黒を1つ覆う」は「どのドミノの区間で積分しても1」と言い換えられます. この場合は1×2のドミノですが, 今回の定理の場合はキチン長方形です. 長方形の辺の長さは任意の正の実数になるので連続的です. この場合にもできるように考えると, 三角関数を使って連続的な色分けをすることが思い浮かぶかもしれません. 私は思い浮かびませんでした.
この場合は連続的な「色塗り」でしたが, 実は普通に市松模様でもできます(次証明).

(2) 市松模様

\(R\)を標準の位置に置く. \(xy\)平面を\(\frac 12 \times \frac 12\)のマス目で埋め尽くし, 黒と白で市松模様に塗る. このとき, 各辺が軸に平行な任意の長方形において,
キチン長方形⇒長方形上の黒と白の面積が等しい
特にそれが原点を頂点に持つならば
キチン長方形⇔長方形上の黒と白の面積が等しい
であるので定理が成り立つ. ■

これを見るとやはり「市松模様スゲー！」と思います.

(3) 市松模様2

\(R\)を標準の位置に置く. \(xy\)平面を\(\frac 12 \times \frac 12\)のマス目で埋め尽くし, 黒と白で市松模様に塗る.
ここで, 長方形の辺となる線分をずらして新しい長方形分割\(R'\)を作ることを考える.
タイルの辺で\(x\)軸に平行なものにおいて, それが直線\(y=a\)上にあるとき
・もし\(a\)が整数なら動かさない.
・そうでない場合, それを直線\(y=[a]+\frac 12\)上に動かす.
タイルの辺で\(y\)軸に平行なものにおいても同様に動かす. この操作においてあるタイルは潰されるかもしれないがそれは本質ではない(面積0のタイルと考える). この操作を行っても, 各タイルはキチン長方形である.
\(R'\)がキチン長方形であることが示されれば元の定理も証明される.
市松模様に戻ると, \(R'\)の各タイルは同じ数の黒い正方形と白い正方形を持つので, \(R'\)も同じ数の黒い正方形と白い正方形を持つからキチン長方形であることが示された. ■

タイルの辺を動かすという発想です. 動かすことでタイルの辺の取りえる値が離散的になりかなり扱いやすくなりました. このように, タイルの辺を動かす発想は今後もいくつか出てきます.

(4) 多項式

\(R\)を標準の位置に置き, (4)と同様に\(R'\)を作る. (4)に似たような方法で辺をずらすことを考える.
タイルの辺で\(x\)軸に平行なものにおいて, それが直線\(y=a\)上にあるとき

• もし\(a\)が整数なら動かさない.
• そうでない場合, それを直線\(y=a+t\)上に動かす.

タイルの辺で\(y\)軸に平行なものにおいても同様に動かす.
このとき\(t\)を\(0\leq t \leq \varepsilon \)の範囲で動かすと, \(\varepsilon\)が十分小さいときは\(t\)をどのように動かしても長方形がつぶれて消えることはない.
このときにそれぞれのタイルの面積がどのように変化するかを考える. \(t\)を動かしても, 長さが整数であるようなタイルの辺の長さは変化しないので, どのタイルも面積の変化は1次関数的である. よって\(R\)の面積の変化も一次関数的であり, \(R\)もキチン長方形である. ■

これは個人的にかなり好きです. これを見てから元の定理を見たとき, 自明に思えてしまいました. これは多次元にも容易に一般化できます.

(5) 素数

\(R\)を標準の位置に置く.
素数\(p\)に対し, \(R\)を原点中心に\(p\)倍に拡大する. これを\(R'\)とする.
次に\(R'\)のタイルの各辺について, それが直線\(x=a\)上にある場合はそれを\(x=[a]\)上にずらす. 直線\(y=a\)上にある場合はそれを\(y=[a]\)上にずらす. これを\(R''\)とする.
このとき\(R\)の各タイルはキチン長方形なので, \(R''\)の各タイルは少なくとも1つの辺の長さが\(p\)の倍数である. よってこれらの面積は\(p\)の倍数であり, したがって, \(R''\)の面積も\(p\)の倍数である. すると\(R''\)の少なくとも1つの辺の長さは\(p\)の倍数であり, すなわち\(R\)の少なくとも1つの辺の長さはもっとも近い整数との差が\(1/p\)未満である. 素数は無数にあることから, \(R\)のどちらかの辺は無数の\(p\)についてもっとも近い整数との差が\(1/p\)未満であるため, \(R\)はキチン長方形である. ■

市松模様に若干似ています. 素数がこんなところでも出てくるとは….

(6) オイラーパス

グラフ\(\Gamma\)を次のように定める(図参照)：

• 平面上の点であって, あるタイルの角となるもの全体を頂点とする.
• 各タイルにおいて, \(H\)タイルでは横に, \(V\)タイルでは縦に頂点同士を辺で結ぶ.

ただし, 多重辺を許すものとする.
このとき, \(R\)の角を除くすべての\(\Gamma\)の頂点の次数は2または4である(その頂点に集まる長方形は2または4個であるため).
また\(R\)の角において次数は1である.
したがって, ある角から別の角へのパスが存在し, そのパスのすべての辺が水平・垂直方向に整数の長さであるから, \(R\)がキチン長方形であることが示された. ■

今までとかなり趣向が違う感じです. 今までは整数がとびとびの値しかとらないことを本質に使っている感じでしたが, 今回はそうではありません. 整数が加減法で閉じていることを本質に使っています. これを一般化することで\(R\)の部分加群についても似たようなことを示すことができるそうです.

(7) 二部グラフ

\(S\)を\(xy\)平面の格子点であってあるタイルの角となるもの全体の集合とする.
\(T\)をタイル全体の集合とする.
\(R\)を標準の位置に置き, 二部グラフ\(\Gamma'\)を次のように定める(図参照)：

• 頂点の集合は\(S\cup T\)である.
• \(s\in S\)と\(t\in T\)は, \(s\)が\(t\)の角となるときに辺で結ばれている.

各タイルにおける仮定より, \(T\)の元の次数は偶数(0,2,4)である. また\(R\)の角とならない\(S\)の元の次数も偶数(2,4)である.
しかし原点においては次数が奇数(1)である.
よってグラフの次数の総和が偶数であることから, 原点以外に次数が奇数となる頂点が存在する. これは\(R\)の角にしかなりえないので, \(R\)はキチン長方形である. ■

(6)に似ています. 多重辺がなく, グラフについての簡単なことしか使わないのでこちらのほうが好きです.

(8) 数学的帰納法

\(H\)タイルの幅, \(V\)タイルの高さはともに1であるとしてよい(タイルを分割することができるので). このときの\(H\)タイルの個数で数学的帰納法を用いる.
もし\(H\)タイルが存在しない場合は自明である(レンガが積みあがっている感じ).
\(H\)タイルが存在すると仮定し, そのうちの1つを\(T_0\)とおく. このとき, もし\(T_0\)の上に接している\(H\)タイルがある場合は, そのうちの1つを\(T_1\)とおく. ない場合は, 図のようにして\(T_1\)タイルを作る.

このとき\(V\)タイルは\(V\)タイルのままであるので影響はない. \(T_2,T_3,\dots,T_m\)タイルにおいても同様に上に上に\(R\)の一番上までとっていく. 逆に, \(T_{-1},T_{-2},T_{-3},\dots,T_{-n}\)においても\(T_0\)から下に下に\(R\)の一番下までとっていく.
すると, \(R\)の下から上まで結ぶ\(H\)タイルの列\[T_{-n},\dots,T_{-1},T_0,T_1,\dots,T_m\]を構成できた. ここでそのタイルの列を抜き取り, 残った部分をｶﾞﾁｬﾝと合わせることで, \(H\)タイルが少ない場合へと帰着できる.
よって数学的帰納法より示された. ■

ｶﾞﾁｬﾝと合わせるのが気持ちよくて好きです.

まとめ

というわけで8種類の証明を紹介しました. お疲れ様でした.
全然別の角度からの証明方法があり, 非常に面白いと思っています. それがこれらの証明が好きな理由です.
自力で新しい証明をつくってみようと思ったのですが無理でした…

初等的解法の存在する角度の問題

日曜数学 Advent Calendar 2018 の11日目の記事です。
adventar.org

はじめに

これは名大の日本数学コンクール論文賞に応募したものです。
11月24日の名古屋大学の数理ウェーブで発表した内容です。

論文内容

数理ウェーブでの発表に用いたスライドです。
www.dropbox.com

論文よりもこちらのほうがまとまっているので。。。

概要

https://www.gensu.co.jp/saito/challenge/pdf/3circumcenter_d20180609.pdf
上の論文をもとに作成しました。

上の論文において、整角四角形の問題を、各線分の長さの等しい折れ線の問題に置き換えることで解いています。

ここで私は、その折れ線を代数的な考察をしやすくするために言い換えました。
具体的には、折れ線を第\(n\)次巡回群\(G=\{1,g,g^2,\dots,g^{n-1}\}\)の群環\(\mathbb{Q}[G]\)の要素とみなし、環準同型\(f:\mathbb{Q}[G]\rightarrow \mathbb{C}\)を\(g\mapsto \exp(2\pi i/n)\)と定めました。
(いきなり折れ線を複素数で入れ替えると折れ線の形の情報が失われてしまうと考えました。また失われた情報(みたいなやつ)が本質だと考えました。)
(今思うと\(\mathbb{Q}[x]/(x^n-1)\)としたほうがわかりやすかったような…実質同じですが)
そして折れ線の始点と終点を結ぶ直線の実数軸となす角度を求める問題は、\(\textbf{g}\in \mathbb{Q}[G]\)が与えられたときに\(f(\textbf{g})\)の偏角を求める問題と言い換えられます。
これはさすがに答えが有理数\(q\)を用いて\(2\pi q\)と表せる場合でないと初等的に解けないので、「\(\textbf{g}\in \mathbb{Q}[G]\)と整数\(k\)が与えられたときに\(f(\textbf{g})\)の偏角が\(2\pi k/n\)であることを示せ」という問題にします。これは\(\ker f\)の構造がわかるとうれしい問題で、実は\(\ker f\)が正多角形の組み合わせで表せるもの全体になっていることが言えてしまうため、その折れ線の問題が初等的に解けることが示されます。
(論文発表後に気づきましたが、arlie_reさんのブログにその証明とほとんど同じことが書いてありました。)
また、四角形の問題に限らず、\(n\)角形における角度の問題は、それがある基準を満たす(角度のわかる三角形を組み合わせて作図できる)ならば折れ線の問題に帰着できることを示しました。