数学徘徊記

自由な数学ブログ。

傍心の有名な難問

お久しぶりです. 約1か月半ぶりの更新でしょうか. 今回の内容は初等幾何です.

曲紹介

たけのこ赤軍さんのブログ
o-v-e-r-h-e-a-t.hatenablog.com
ならい, 曲紹介を.
(続けてほしいかどうかはまた聞きます)
この記事はこの曲を聴きながら読むのがオススメです:

問題

有名な平面幾何の難問として, 次のようなものがあります.
f:id:yootaamath:20170710144137p:plain
図において, \(O\)は\(\triangle ABC\)の外心, \(I_A\)は角\(A\)内の傍心とする.
このとき, \(EF \perp OI_A\)を証明せよ.

問題自体はシンプルですが, かなりの難問です. まず, 結ぶ線が特殊ですね. 点\(E,F\)を結ぶのは考えづらいし, ましてや外心と傍心を結ぶなんてやばそうです.

僕は, この問題が難しいとうわさで聞いていたので解こうとしたのですが全然わかりませんでした. 手も足も出ないような状況です.

しかし少し時がたち, 何か幾何の問題を作ろうと思っていろいろ図形を描いていったら, たまたまこの問題が解けてしまいました.

今回はその証明を書こうと思っています.

準備

この証明を理解するには, 円による反転の知識(初歩)とオイラー線の知識(初歩)が必要なので, まず解説します.

反転

そもそも反転とは?ということについてはこの記事を見てください.
反転幾何の基礎 | 高校数学の美しい物語

またこのブログでは, この記事の事実2を使います.
円に内接もするし外接もする四角形 - 数学徘徊記

オイラー

この記事では,
「三角形の外心, 重心, 九点円の中心は同一直線上にある」
という事実を使います. この直線はオイラー線と呼ばれます.
ちょうどいい練習問題なので, 解いてみてください.
オイラー線はこのほかにも垂心などいろいろな点を通りますがここでは使いません.
オイラー線 - Wikipedia

証明

準備が終わったので, 証明に移りましょう. 証明は主に3ステップです.
まず, 直線\(OI_A\)がある三角形のオイラー線になることを示します.
つぎに, 点\(O\)から直線\(EF\)に下した垂線の足を\(H\)とし, \(HI_A\)が同じオイラー線となることを示します.
最後に, \(EF\perp OI_A\)を示します.

※注意
多少の行間がありますが, どれもそんなに難しくないようにしています.

ステップ1

f:id:yootaamath:20170710152800p:plain
\(I_A\)を中心とする\(\triangle ABC\)の傍心を\(\Gamma\)とおきます. ここから, 対象\(X\)を円\(\Gamma\)に対して反転させたものを\(X'\)と表すことにします. また, これからは円\(\Gamma\)でしか反転しないので, 「円\(\Gamma\)で」という言葉を省略します.
\(\triangle ABC\)の外接円\(\Omega\)を反転させてみましょう(これを\(\Omega'\)とする). すると\(\triangle A'B'C'\)の外接円となります.
点\(A',B',C'\)はそれぞれ辺{QR,RP,PQ}の中点となるので, \(\Omega'\)は\(\triangle PQR\)の九点円となります.
\(\Omega'\)の中心を\(N\)とすると, 点\(O,N,I_A\)が同一直線上にあることはすぐわかります(円の対称性)(点\(O\)は反転で点\(N\)に移されることではないのに注意).
また, \(I_A\)は\(\triangle PQR\)にとって外心となるため, 直線\(OI_A\)は\(\triangle PQR\)のオイラー線となります.

ステップ2

f:id:yootaamath:20170710160815p:plain
点\(O\)から直線\(EF\)に下した垂線の足を\(H\)とします.
ここで, \(EI_A\)を直径とする円を\(\omega_1\), \(FI_A\)を直径とする円を\(\omega_2\)とすると, これらは点\(H\)を通ります. すなわち, 点\(H\)は\(\omega_1\)と\(\omega_2\)の交点の一つと考えられます.
また\(\angle EBI_A=\angle EQI_A=\angle FCI_A=\angle FRI_A=90^\circ \)より, \(\omega_1\)は点\(B,Q\)を, \(\omega_2\)は点\(C,R\)を通ります.
\(\omega_1, \omega_2\)を反転させてみましょう. これらは点\(I_A\)(反転の中心)を通るので, 反転させたら直線となります.
また点\(B,C\)は反転させると点\(B',C'\)に移り, また点\(Q,R\)は円\(\Gamma\)上にあるため反転しても動きません. そのため, \(\omega_1, \omega_2\)はそれぞれ直線\(B'Q,C'R\)に移ります.
直線\(B'Q,C'R\)は\(\triangle PQR\)にとって中線となるため, それらの交点を\(G\)とおくと, \(G\)は\(\triangle PQR\)の重心となります.
点\(H\)は反転すると点\(G\)に移るため, 点\(H,G,I_A\)は同一直線上にあります. 直線\(GI_A\)は\(\triangle PQR\)にとってオイラー線となるので, 直線\(HI_A\)は\(\triangle PQR\)のオイラー線となります.

ステップ3

ここまでできれば後は簡単です. 定義より\(EF\perp OH\)であり, また直線\(OH\)と\(OI_A\)はどちらも\(\triangle PQR\)のオイラー線となるから一致するので, \(EF\perp OI_A\)が示されました.

感想

いやあ, 長かったですね. ここでは反転が大活躍しました. またオイラー線も一つの決め手ですね.
直線\(OI_A\)というわかりにくい対象を, \(\triangle PQR\)のオイラー線と言い換えることで, 「オイラー線」といういろんな点を通ってくれてうれしい対象に変えられるかどうかが一番の決め手でした.

この問題の初等的な解法のなかで, 一番単純なものだという自信があるのですが, どうでしょうか?
(ほら, そこ, 重心座標とか言わない. )

寮のバスケ大会で数学を見つけた話

背景

寮の行事で、バスケットボール大会がありました。

4チームに分けて、総当たり戦で競います。

学校の体育館を借りて試合を行ったのですが、
その体育館はコートを2つ作れます。
つまり、同時に2試合行えます。

4チームでの総当たり戦なので、合計6試合となります。
一方、同時に2試合となるので、3回分。
1つのチームが戦う相手チーム数ももちろん3つなので、ずっと試合することになります。

もちろん、コート替えをすることになります。
戦う相手を変えなきゃいけないためです。

しかし、コート替えって面倒くさいですよね。
(自分が動きたくないだけ)

バスケ大会終了後、1つのチームを見つけ
「あのチーム、1回も移動してなくていいなあ」
と言ってました。
どうせなら均等にしてもらえないかなあ…。(謎)

しかしよく考えてみたら、
どのようにしても1回もコート替えをしないチームが存在する
ということが成り立つのに気付いたのです。

証明(?)

1試合目から2試合目に移るとき、1コートあたりちょうど1つのチームがコート替えをします。
なぜなら、両チームが移動しなくても、両方移動しても、また同じ試合が行われてしまうからです。

すると、2試合目時点で、両コートに1つずつ、
いまだコート替えをしていないチームがいることになります。
これらのチームを、それぞれ A、B としましょう。

では2試合目から3試合目に移ります。

AとBはまだ試合を行っていません。
1試合目も2試合目もそれぞれ別のコートにいたわけですからね。

ということは、3試合目に A vs B の試合を行うことになります。

この試合を、もともとAチームがいた場所で行ったら、
Aチームはずっとコート替えをしないことになります。

逆に、この試合を、もともとBチームがいた場所で行ったら、
Bチームはずっとコート替えをしないことになります。

すると、どっちみちコート替えをしないチームができてしまいますね。

よって示されました。

伝えたいこと

これはほんとに身近なふとした疑問です。

しかし論理的に考えることで、一見当たり前だとは思えないことが示されました。

身近なふとした疑問も、論理的に考えれば、答えが見つかるという1つの例です。
周りを見渡してみましょう。面白い発見があるかもしれません。

数ぽよ用フォーラム

数ぽよ用のフォーラムを作りました!
なんと!TeX対応です!(\(\)で囲んでください)
http://supoyo.forumotion.asia/forum

広告からウイルスが入るらしいのでいったん閉鎖します

黒峰問題

追記:ミスを直しました。

黒峰問題とは
\(2^x+3^y+5=z^3\)の非負整数解\((x,y,z)\)をすべて求めよ。

という問題で、まだ未解決です。
(1,0,2),(5,3,4)という2つの解は見つかっていますが、他は見つかっていません。

ここは略しますが、奇遇やmod 4, 7, 9で考えることにより\(y\)は奇数、\(z\)は4の倍数である2の倍数であることがわかります。
そして\(x\geq 5\)、もわかります。

移項すると\(3^y+5=z^3-2^x\)。\({\rm ord} _2 (3^y+5)\)についてみれば何かわかりそうです。

まず次の補題を使います。

補題
\(n\)を正整数とする。このとき
\[
{\rm ord}_2 (3^n-1) = \begin{cases}
1 & (nが奇数) \\
2+{\rm ord}_2 n & (nが偶数)
\end{cases}
\]

証明

\(n=2^t m\)(\(t\)は非負整数、\(m\)は奇数)と表す。\(t\)についての帰納法を用いる。

\(t=0\)の場合
\[3^n-1 \equiv (-1)^n-1 \equiv -2 \pmod 4\]
より\(3^n-1\)は2の倍数ではあるが4の倍数でない。
したがって\({\rm ord}_2 (3^n-1) = 1\)。よって証明された。

\(t=1\)の場合
\begin{eqnarray}
3^{2m}-1&=&9^m - 1\\
&=&(9-1)(9^{m - 1}+\cdots +1)
&=&8\times (奇数)
\end{eqnarray}
である。(\(9^{m - 1}+\cdots +1\)が奇数となるのは、奇数が奇数個足されているため)
したがって\({\rm ord}_2 (3^n-1)=3=2+1\)。よって証明された。

\(t=k\)(ただし\(k\geq 1\))のとき成り立つと仮定する。すなわち、
\[{\rm ord}_2 (3^{2^k}-1) = 2 + {\rm ord}_2 2^k = 2+k \]
と仮定する。
このとき、
\[3^{2^{k+1}}-1=(3^{2^k}-1)(3^{2^k}+1)=(3^{2^k}-1)\{(3^{2^k}-1)+2\}\]
であり、帰納法より\({\rm ord}_2 (3^{2^k}-1)=2+k\)、
そして\({\rm ord}_2 \{ (3^{2^k}-1)+2 \}=1\)であるから
\begin{eqnarray}
{\rm ord}_2 (3^{2^{k+1}}-1) &=& {\rm ord}_2 (3^{2^k}-1) + {\rm ord}_2 \{(3^{2^k}-1)+2\}\\
&=& (2+k)+1\\
&=& 2+(k+1)
\end{eqnarray}
よって帰納法の仮定より、すべての正整数\(n\)において証明された。

次に\({\rm ord} _2 (3^y+5)\)について考察します。
\(y=4k+1\)のときと\(y=4k+3\)のときに場合分けします。

\(y=4k+1\)のとき

補題を用いると
\[3^{4k+1}+5=\underbrace{3(3^{4k}-1)}_{16の倍数}+8\]
より\(3^{4k+1}+5\)は8で割り切れるが16で割り切れません。
すなわち\({\rm ord} _2 (3^y+5)=3\)です。

\(3^y+5=z^3-2^x\)ですが、z^3も2^xも32の倍数であることがわかっているので不適です。

\(y=4k+3\)のとき
\[3^{4k+3}+5=3^3(3^{4k}-1)+3^3+5\]
ここで
\[{\rm ord} _2 3^3(3^{4k}-1)=4+k, {\rm ord} _2 3^3+5=5\]
より、
\[
{\rm ord}_2 (3^y+5) = \begin{cases}
4 & ({\rm ord}_2 k=0) \\
5 & ({\rm ord}_2 k\ge 2) \\
6以上 & ({\rm ord}_2 k = 1) \\
\end{cases}
\]
となります。

しかし\(y=4k+1\)の場合と同様オーダーは5以上でないといけません。
じつはもうこの時点で\(y\)のmod 16がわかっています。

数式お絵かきでサーバルともう1匹描いてみたよ(本編)


上の動画には載せなかったことを中心に書きます。

一番苦労したのは目の部分です。
不等式にすることで黒く塗りつぶしているわけです。
f:id:yootaamath:20170328145940p:plain

右目

\(-0.14957x^2-0.08395y^2+0.01615xy+0.37445x+0.50634y-1\ge 0 \\
\left\{-0.03332x^2-0.02929y^2-0.16734xy+0.45301x+0.49031y-1\ge 0\right\} \\
\left\{0.02284x^2-0.08567y^2+0.04752xy-0.21504x+0.58972y-1\le 0\right\}\)
f:id:yootaamath:20170328145944p:plain

左目

\(-0.05886x^2-0.00936y^2-0.004xy+0.45999x+0.07929y-1\ge 0 \\
\left\{-0.07013x^2-0.00831y^2+0.01367xy+0.50082x+0.01179y-1\ge 0\right\} \\
\left\{-0.20646x^2-0.0633y^2+0.18828xy+0.75228x-0.18253y-1\le 0\right\} \\
\left\{-0.0361x^2-0.1455y^2+0.0328xy-0.7275x+1.4885y-1\le 0\right\}\)
f:id:yootaamath:20170328145946p:plain

数式お絵かきの今後

絵としてのクオリティーを下げないまま数式らしさを出すにはどうすればいいのか?
候補として考えているのは「動くグラフ」です。



リンク・資料など

数式お絵かき支援シート(Excel
http://math-haikai.blog.jp/Book1.xlsx
右クリックして名前をつけて保存としてください

さーばる
https://www.desmos.com/calculator/6owxl4o27p

ふるる~
https://www.desmos.com/calculator/vnmtaqivca

問題コーナー(第3回)解答

f:id:yootaamath:20170221210253p:plain
この問題は難しかったかと思います。
15°って割と使うのが難しいんですよね。しかも27°という数字まであります。
解答です。

用意していた解答

この解答はやや複雑です。角の二等分線定理を使います。
まず、図のように点{A,B,C,D}とおきます。
f:id:yootaamath:20170221210253p:plain
そして、{DA}の延長に{\angle ABE=15^\circ}となるように点{E}を、
{DC}の延長に{\angle CBF=27^\circ}となるように点{F}をとります。
f:id:yootaamath:20170221210255p:plain
つぎに四角形{BFDG}が平行四辺形となるように、
つまり{\triangle BDF\equiv \triangle DBG}となるように点{G}をとります。

すると図のようになります。(見覚えのある人もいるかもしれません)
f:id:yootaamath:20170221210257p:plain
ここで、直線{DG}に関して点{E}と同じ側に、{\triangle HDG}が正三角形となるように点{H}をとります。
f:id:yootaamath:20170221210259p:plain
すると、二辺挟角相等より{\triangle GDE \equiv \triangle HDE}より{EH=EG}
よって{\angle EHG=36^\circ}となります。
また、{\angle GHD=2 \angle GBD}{HG=HD}より点{H}は三角形{BDG}の外心となるので、{HB=HG}となります。よって{\angle EBH=36^\circ}です。
そして簡単な角度計算で{\angle BEH=\angle BHE =72^\circ }がわかり、{EB=HB}がわかります。
よって、{BE=DG}となります。
f:id:yootaamath:20170221210301p:plain
四角形{BFDG}は平行四辺形なので、{DG=BF}より、{BE=BF}です。

ここで角の二等分線定理を使います。
{EA:AD=BE:BD, FC:CD=BF:BD, BE=BF}より{EA:AD=FC:CD}なので{EF//AC}となります。
また{BE=BF}より{\angle BEF=48^\circ}。よって{\angle DEF=78^\circ}です。
{EF//AC}より{\angle DAC =\angle DEF=78^\circ}
したがって{\angle BAC=63^\circ}となり、これが答えです。

コメント

さきほど「見覚えのある人もいるかもしれません」といったのは、
この問題コーナーの第1回の図形が入っていたからです。
su-hai.hatenablog.com
実はこの問題は第1回の問題を基にして作られた問題です。
二番煎じと言ったらそうかもしれませんが。。。

別解

TwitterでHiroshi Saitoさんから解答をいただきました。ありがとうございます。
f:id:yootaamath:20170225065101j:plain

円に内接もするし外接もする四角形

円に内接する四角形ってありますよね。
よく図形の問題を解いていると出てきます。

逆に、円に外接する四角形っていうのもありますよね。
こちらはあまり問題では見かけませんが。確かにあります。

では、
「円に内接もするし外接もする四角形」
f:id:yootaamath:20170205155342p:plain
とはどのようなものなんでしょう?
正方形とかそうだけど、一般的には?

この問題について考えるため、いくつか準備をします。

準備

円の「反転」という操作を使います。
これについてはここでは詳しく述べませんが、このサイトにある程度かかれています。
mathtrain.jp

ここで使う反転の性質は
「反転の中心を通らない円を反転させると円になる」
というものです。
これから、
「点\(A,B,C,D\)を反転させた点\(A',B',C',D'\)が同一円周上にあり、その円が反転の中心を通らないことと、点\(A,B,C,D\)が同一円周上にあり、その円が反転の中心を通らないことは同値である。」 …事実1
ということもわかります。

また、次の性質も成り立ちます。
「点\(P\)から円\(\Gamma\)に接線が引かれていて、それぞれの円との接点をそれぞれ\(A,B\)とする。点\(A,B\)の中点を点\(M\)とするとき、点\(P\)を反転させると点\(M\)に移る。」 …事実2
f:id:yootaamath:20170205155335p:plain
証明
円\(\Gamma\)の中心を\(O\)とする。点\(O,M,P\)が一直線上にあることは明らか。このとき、\(\angle OAP=\angle OMA=90^\circ\)より\(\triangle OAP \sim \triangle OMA\)。よって\(OM:OA=OA:OP\)より\(OP\cdot OM=OA^2\)となり結果が従う。

そして、次ですが、反転とは関係がありませんが四角形についてこの性質が成り立ちます(よく知られた事実です)。
「四角形のそれぞれの辺の中点を結ぶと平行四辺形ができる。」 …事実3
f:id:yootaamath:20170205155337p:plain
証明は略しますが、中点連結定理で簡単に証明できます。(図参照)


では、円に内接もするし外接もする四角形について考えていきましょう。

四角形\(ABCD\)が円\(\Gamma\)に外接していると仮定します。
そして辺\(AB,BC,CD,DA\)と円\(\Gamma\)の接点をそれぞれ\(P,Q,R,S\)とします。
f:id:yootaamath:20170205155331p:plain

すると四角形\(PQRS\)ができますね。
{SP,PQ,QR,RS}の中点をそれぞれ\(A',B',C',D'\)とします。すると、点\(A',B',C',D'\)は点\(A,B,C,D\)を反転させた点となります。これは事実2からわかります。
f:id:yootaamath:20170205155329p:plain

ここでは円に内接もするし外接もする四角形について考えているので、\(A,B,C,D\)が同一円周上にあるときについて考えます。

ここで事実1を用いましょう。点\(A',B',C',D'\)が同一円周上にある条件がわかれば、いつ\(A,B,C,D\)が同一円周上にあるかがわかります。(注)

そして事実3。点\(A',B',C',D'\)は四角形\(PQRS\)の辺のそれぞれの中点を結んでできた四角形だったので、四角形\(A'B'C'D'\)は平行四辺形だとわかります。
f:id:yootaamath:20170205155346p:plain

では、「円に内接する平行四辺形」とはなんでしょうか?対角の和が180°でなくてはいけないため、そのような平行四辺形は長方形だとわかります。すなわち、四角形\(A'B'C'D'\)は長方形だとわかります。

というわけで、
「四角形\(ABCD\)が円に内接もするし外接もする←→四角形\(A'B'C'D'\)が長方形」
ということがわかりました。
f:id:yootaamath:20170205155344p:plain

しかし「四角形\(A'B'C'D'\)が長方形」という条件がわかりにくいですね…しかし、\(PR\perp QS\)という条件と同値なのは中点連結定理によってわかります。

というわけで、いろいろ長くなりましたが、最終的には
「四角形\(ABCD\)が円に内接もするし外接もする←→\(PR\perp QS\)」
ということがわかります。
f:id:yootaamath:20170205155339p:plain

けっこう簡単な条件で表せました。
これをつかうと簡単に円に内接もするし外接もする四角形をかけて楽しいですよ!


注:四角形\(A'B'C'D'\)の外接円が反転の中心を通らないということを厳密に証明できていません。証明しようとなると大変そう…