数学徘徊記

自由な数学ブログ。

2018JJMO本選模試

ついに、、2018JJMO本選模試、、公開しました!!!

近年のJJMOの傾向を研究し、海外の数学オリンピックの問題から問題を選びました。

問題

f:id:yootaamath:20171109164300p:plain

Dropbox:
www.dropbox.com

出典:

  1. Canada MO 2004-1
  2. IZhO 2015-1
  3. Iran MO 2nd 2013-4
  4. ITAMO 2011-5
  5. 出典不明

近年の傾向について

JJMOの本選は5題4時間、すべて記述式です。
例年、1番から5番の順に簡単な順に並んでいるようですが、絶対にそうなわけではないので、参考程度に思ったほうがいいです。
特にJJMOの場合顕著です。たとえば2017年のJJMOは、いつも激ムズのはずの5番に割と簡単な幾何問題が出ています。

では傾向を見ていきましょう。
代数:A、整数論:N、幾何:G、組合せ:C であらわしています。
2つの文字の場合、それは融合問題です。

'09 '10 '11 '12 '13 '14 '15 '16 '17
1 N CG G G A N G G C
2 G N N N CA A A C N
3 C A G C N G C A A
4 A G N G G C G G A
5 G C C C C N CG C G

こんな感じです(ミスがあったらごめんなさい。)

JJMOはまだまだ出来立ての大会なので、最初のほうは手探り状態でしょうか。
それをふまえて、傾向を見ていくこととします。

まず、2011年は例外ですが、1~4問目にC分野が出ていることがわかります。今年も出るでしょう。5番の難問として出る率も高いと思われます。
また近年、A分野の問題がよく出題されているようです(とくに2017年は2問も!)。今年は1~2番目に出る可能性が高いと思われます。わりとダークホース的に5番目にAが出るかもしれません。
G分野は毎年出ています。今年も出るんじゃないですか(適当)
N分野は、2017年で2年ぶりに出たようです。今年は出るのかわかりませんが、3~4番目に出てもおかしくないのかなあと思います。

というわけで、今年の予想はこれです。

'18 (予想)
1 A (C)
2 C (A)
3 G (N)
4 N (G)
5 C (A)

(かっこ外は本命、内は対抗)

これを踏まえて、AoPSから問題を引っ張り出してきました。
5番の「出典不明」っていう問題は、学校の先生が教えてくれた問題です。何かの本から引っ張り出した問題のようですが、その本がわからないので、誰かわかる人がいたら教えてください。

JMO夏季セミに参加した。

どうも、お久しぶりです。
2か月以上更新していませんでした。夏休みの後半から文化祭にかけて結構忙しく、なかなか記事を書く時間がありませんでした。

この記事では、夏休みの後半に行った夏季セミについて書こうと思います。

これは公式のHPです。
jmoss.jp

参加資格

まず、前回の日本数学オリンピックJMO)入賞者&日本ジュニア数学オリンピック(JJMO)銀賞・金賞受賞者&ヨーロッパ女子数学オリンピック(EGMO)日本代表には参加資格が与えられます。
また応募も行っています。応募者は、数学についての論文または数学書の感想を主催者に送り、そしてその内容によって参加者が選ばれます。

数オリのほうは結果がアレだったので、論文のほうで参加しました。

参加者は男子が多かったものの、4,5人女子の参加者がいました。また、むっちゃ数学ができる人ばかりです。

内容

ほんとに「数学漬け」みたいな日程です。夏季セミの主な内容はゼミです。

1日目:開会式(自己紹介など)・ゼミ
2日目:ゼミ
3日目:講義・ゼミ
4日目:講義・ゼミ
5日目:ゼミ
6日目:全体発表
7日目:閉会式

ゼミ

参加者は、主催者が用意した9冊の本から、ゼミをしたい本を選びます。本のレベルが3つに分かれているほか、洋書もあります。僕は今回、「The Symmetric Group」(Bruce E. Sagan 著)という本を選びました。
そして本ごとに9つのグループに分かれ、そのなかでゼミを行っていきます。本1冊ごとに1、2人のチューター(元国際数学五輪日本代表の大学生・大学院生)がついていて、その先輩方に支えられながらゼミをしていく感じです。
1日目からいきなりゼミが始まります。多い日なんかは9:00~12:00、13:00~18:00、20:00~21:00ずっとゼミだったりします。でもかなりのスピードで数学書を読んでいくので、時間がなく大変です。
いままでゼミをやったことがなかったので、最初のほうはかなりつらかったのを覚えています。しかしやっていくなかで新しく学んだ概念がイメージできるようになってきたり、発表に慣れてきたりしたのでよい体験だったと思っています。

講義

中高生にもわかるレベルの内容でいろいろ面白い話をしてくれるので面白いです。結構発展的な話をしてくれます。

全体発表

ゼミの総まとめとして、ゼミで勉強した内容を夏季セミ参加者全員に発表します。時間は30分とかなり短いので簡潔する必要があり、準備が大変です。

深夜

ゼミが終わった後はほとんどの人が遊びます(完徹勢も何人かいます)。もちろんチューターも参加してです。遊びの内容は様々ですが、カードゲームが多かったと思います。戦略が必要なゲームが多かった印象。本当に楽しかったです。

感想

本当に楽しかったです。ゼミを通してかなり学んだし、またさまざまな数学好きの中高生と知り合え、とてもいい時間を過ごせました。
絶対来年も参加したい!!

数学甲子園奮闘記

メンバー構成

高2が1人、高1が3人、中3が1人の全部で5人の構成です。 友達に誘われて数学甲子園に参加しました。

予選

予選は個人戦なので、チームでも「対策は個人でやってて」みたいな感じでした。 まあ予選通過できてよかったです。後でわかったことなんですが、チームの平均点は本線通過者の平均点とほぼ同じだったので、真ん中くらいでした。

Math Create

Math Create 対策で、一回90分で問題を作ろうとしてみたのですがほとんど不可能なことがわかったので、事前に問題を作ろうということになりました。 そして Math Create 本番。お題が「投」「連」「操」をすべて使う、という謎なお題だったため苦戦しましたが、なんとか事前に作った問題を少し変えてお題に沿う問題を作りました。 結果発表のときに分かったのですが、問題は高評価だったらしいです。

Math Battle

役割分担も決めて、対策も過去問を解くなどしてやったのですが、やっぱり実力が足りなかったのですかね、あまりいい感じではありませんでした。 これは結果発表のときに分かったのですが、Math Battle の自チームの得点は120/180点。1~3位のチームは150点取っていたので、さすがにここで差をつけられました。

Math Live

Math Create がよかったので、ギリギリですがなんとか決勝に進出。プレゼンの練習をしてきたので、プレゼンはうまくいきました。しかし質疑応答がうまくいかなかったな…という感じです。もっとチームで質疑応答対策をすべきだったと思います。

結果

4位入賞でした。いやー、微妙ですね。メダルは取りたかったなー。しかし入賞できてよかったと思います。来年は優勝を目指して頑張りたいと思います。

傍心の有名な難問

お久しぶりです. 約1か月半ぶりの更新でしょうか. 今回の内容は初等幾何です.

曲紹介

たけのこ赤軍さんのブログ
o-v-e-r-h-e-a-t.hatenablog.com
ならい, 曲紹介を.
(続けてほしいかどうかはまた聞きます)
この記事はこの曲を聴きながら読むのがオススメです:

問題

有名な平面幾何の難問として, 次のようなものがあります.
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図において, \(O\)は\(\triangle ABC\)の外心, \(I_A\)は角\(A\)内の傍心とする.
このとき, \(EF \perp OI_A\)を証明せよ.

問題自体はシンプルですが, かなりの難問です. まず, 結ぶ線が特殊ですね. 点\(E,F\)を結ぶのは考えづらいし, ましてや外心と傍心を結ぶなんてやばそうです.

僕は, この問題が難しいとうわさで聞いていたので解こうとしたのですが全然わかりませんでした. 手も足も出ないような状況です.

しかし少し時がたち, 何か幾何の問題を作ろうと思っていろいろ図形を描いていったら, たまたまこの問題が解けてしまいました.

今回はその証明を書こうと思っています.

準備

この証明を理解するには, 円による反転の知識(初歩)とオイラー線の知識(初歩)が必要なので, まず解説します.

反転

そもそも反転とは?ということについてはこの記事を見てください.
反転幾何の基礎 | 高校数学の美しい物語

またこのブログでは, この記事の事実2を使います.
円に内接もするし外接もする四角形 - 数学徘徊記

オイラー

この記事では,
「三角形の外心, 重心, 九点円の中心は同一直線上にある」
という事実を使います. この直線はオイラー線と呼ばれます.
ちょうどいい練習問題なので, 解いてみてください.
オイラー線はこのほかにも垂心などいろいろな点を通りますがここでは使いません.
オイラー線 - Wikipedia

証明

準備が終わったので, 証明に移りましょう. 証明は主に3ステップです.
まず, 直線\(OI_A\)がある三角形のオイラー線になることを示します.
つぎに, 点\(O\)から直線\(EF\)に下した垂線の足を\(H\)とし, \(HI_A\)が同じオイラー線となることを示します.
最後に, \(EF\perp OI_A\)を示します.

※注意
多少の行間がありますが, どれもそんなに難しくないようにしています.

ステップ1

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\(I_A\)を中心とする\(\triangle ABC\)の傍心を\(\Gamma\)とおきます. ここから, 対象\(X\)を円\(\Gamma\)に対して反転させたものを\(X'\)と表すことにします. また, これからは円\(\Gamma\)でしか反転しないので, 「円\(\Gamma\)で」という言葉を省略します.
\(\triangle ABC\)の外接円\(\Omega\)を反転させてみましょう(これを\(\Omega'\)とする). すると\(\triangle A'B'C'\)の外接円となります.
点\(A',B',C'\)はそれぞれ辺{QR,RP,PQ}の中点となるので, \(\Omega'\)は\(\triangle PQR\)の九点円となります.
\(\Omega'\)の中心を\(N\)とすると, 点\(O,N,I_A\)が同一直線上にあることはすぐわかります(円の対称性)(点\(O\)は反転で点\(N\)に移されることではないのに注意).
また, \(I_A\)は\(\triangle PQR\)にとって外心となるため, 直線\(OI_A\)は\(\triangle PQR\)のオイラー線となります.

ステップ2

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点\(O\)から直線\(EF\)に下した垂線の足を\(H\)とします.
ここで, \(EI_A\)を直径とする円を\(\omega_1\), \(FI_A\)を直径とする円を\(\omega_2\)とすると, これらは点\(H\)を通ります. すなわち, 点\(H\)は\(\omega_1\)と\(\omega_2\)の交点の一つと考えられます.
また\(\angle EBI_A=\angle EQI_A=\angle FCI_A=\angle FRI_A=90^\circ \)より, \(\omega_1\)は点\(B,Q\)を, \(\omega_2\)は点\(C,R\)を通ります.
\(\omega_1, \omega_2\)を反転させてみましょう. これらは点\(I_A\)(反転の中心)を通るので, 反転させたら直線となります.
また点\(B,C\)は反転させると点\(B',C'\)に移り, また点\(Q,R\)は円\(\Gamma\)上にあるため反転しても動きません. そのため, \(\omega_1, \omega_2\)はそれぞれ直線\(B'Q,C'R\)に移ります.
直線\(B'Q,C'R\)は\(\triangle PQR\)にとって中線となるため, それらの交点を\(G\)とおくと, \(G\)は\(\triangle PQR\)の重心となります.
点\(H\)は反転すると点\(G\)に移るため, 点\(H,G,I_A\)は同一直線上にあります. 直線\(GI_A\)は\(\triangle PQR\)にとってオイラー線となるので, 直線\(HI_A\)は\(\triangle PQR\)のオイラー線となります.

ステップ3

ここまでできれば後は簡単です. 定義より\(EF\perp OH\)であり, また直線\(OH\)と\(OI_A\)はどちらも\(\triangle PQR\)のオイラー線となるから一致するので, \(EF\perp OI_A\)が示されました.

感想

いやあ, 長かったですね. ここでは反転が大活躍しました. またオイラー線も一つの決め手ですね.
直線\(OI_A\)というわかりにくい対象を, \(\triangle PQR\)のオイラー線と言い換えることで, 「オイラー線」といういろんな点を通ってくれてうれしい対象に変えられるかどうかが一番の決め手でした.

この問題の初等的な解法のなかで, 一番単純なものだという自信があるのですが, どうでしょうか?
(ほら, そこ, 重心座標とか言わない. )

寮のバスケ大会で数学を見つけた話

背景

寮の行事で、バスケットボール大会がありました。

4チームに分けて、総当たり戦で競います。

学校の体育館を借りて試合を行ったのですが、
その体育館はコートを2つ作れます。
つまり、同時に2試合行えます。

4チームでの総当たり戦なので、合計6試合となります。
一方、同時に2試合となるので、3回分。
1つのチームが戦う相手チーム数ももちろん3つなので、ずっと試合することになります。

もちろん、コート替えをすることになります。
戦う相手を変えなきゃいけないためです。

しかし、コート替えって面倒くさいですよね。
(自分が動きたくないだけ)

バスケ大会終了後、1つのチームを見つけ
「あのチーム、1回も移動してなくていいなあ」
と言ってました。
どうせなら均等にしてもらえないかなあ…。(謎)

しかしよく考えてみたら、
どのようにしても1回もコート替えをしないチームが存在する
ということが成り立つのに気付いたのです。

証明(?)

1試合目から2試合目に移るとき、1コートあたりちょうど1つのチームがコート替えをします。
なぜなら、両チームが移動しなくても、両方移動しても、また同じ試合が行われてしまうからです。

すると、2試合目時点で、両コートに1つずつ、
いまだコート替えをしていないチームがいることになります。
これらのチームを、それぞれ A、B としましょう。

では2試合目から3試合目に移ります。

AとBはまだ試合を行っていません。
1試合目も2試合目もそれぞれ別のコートにいたわけですからね。

ということは、3試合目に A vs B の試合を行うことになります。

この試合を、もともとAチームがいた場所で行ったら、
Aチームはずっとコート替えをしないことになります。

逆に、この試合を、もともとBチームがいた場所で行ったら、
Bチームはずっとコート替えをしないことになります。

すると、どっちみちコート替えをしないチームができてしまいますね。

よって示されました。

伝えたいこと

これはほんとに身近なふとした疑問です。

しかし論理的に考えることで、一見当たり前だとは思えないことが示されました。

身近なふとした疑問も、論理的に考えれば、答えが見つかるという1つの例です。
周りを見渡してみましょう。面白い発見があるかもしれません。

数ぽよ用フォーラム

数ぽよ用のフォーラムを作りました!
なんと!TeX対応です!(\(\)で囲んでください)
http://supoyo.forumotion.asia/forum

広告からウイルスが入るらしいのでいったん閉鎖します

黒峰問題

追記:ミスを直しました。

黒峰問題とは
\(2^x+3^y+5=z^3\)の非負整数解\((x,y,z)\)をすべて求めよ。

という問題で、まだ未解決です。
(1,0,2),(5,3,4)という2つの解は見つかっていますが、他は見つかっていません。

ここは略しますが、奇遇やmod 4, 7, 9で考えることにより\(y\)は奇数、\(z\)は4の倍数である2の倍数であることがわかります。
そして\(x\geq 5\)、もわかります。

移項すると\(3^y+5=z^3-2^x\)。\({\rm ord} _2 (3^y+5)\)についてみれば何かわかりそうです。

まず次の補題を使います。

補題
\(n\)を正整数とする。このとき
\[
{\rm ord}_2 (3^n-1) = \begin{cases}
1 & (nが奇数) \\
2+{\rm ord}_2 n & (nが偶数)
\end{cases}
\]

証明

\(n=2^t m\)(\(t\)は非負整数、\(m\)は奇数)と表す。\(t\)についての帰納法を用いる。

\(t=0\)の場合
\[3^n-1 \equiv (-1)^n-1 \equiv -2 \pmod 4\]
より\(3^n-1\)は2の倍数ではあるが4の倍数でない。
したがって\({\rm ord}_2 (3^n-1) = 1\)。よって証明された。

\(t=1\)の場合
\begin{eqnarray}
3^{2m}-1&=&9^m - 1\\
&=&(9-1)(9^{m - 1}+\cdots +1)
&=&8\times (奇数)
\end{eqnarray}
である。(\(9^{m - 1}+\cdots +1\)が奇数となるのは、奇数が奇数個足されているため)
したがって\({\rm ord}_2 (3^n-1)=3=2+1\)。よって証明された。

\(t=k\)(ただし\(k\geq 1\))のとき成り立つと仮定する。すなわち、
\[{\rm ord}_2 (3^{2^k}-1) = 2 + {\rm ord}_2 2^k = 2+k \]
と仮定する。
このとき、
\[3^{2^{k+1}}-1=(3^{2^k}-1)(3^{2^k}+1)=(3^{2^k}-1)\{(3^{2^k}-1)+2\}\]
であり、帰納法より\({\rm ord}_2 (3^{2^k}-1)=2+k\)、
そして\({\rm ord}_2 \{ (3^{2^k}-1)+2 \}=1\)であるから
\begin{eqnarray}
{\rm ord}_2 (3^{2^{k+1}}-1) &=& {\rm ord}_2 (3^{2^k}-1) + {\rm ord}_2 \{(3^{2^k}-1)+2\}\\
&=& (2+k)+1\\
&=& 2+(k+1)
\end{eqnarray}
よって帰納法の仮定より、すべての正整数\(n\)において証明された。

次に\({\rm ord} _2 (3^y+5)\)について考察します。
\(y=4k+1\)のときと\(y=4k+3\)のときに場合分けします。

\(y=4k+1\)のとき

補題を用いると
\[3^{4k+1}+5=\underbrace{3(3^{4k}-1)}_{16の倍数}+8\]
より\(3^{4k+1}+5\)は8で割り切れるが16で割り切れません。
すなわち\({\rm ord} _2 (3^y+5)=3\)です。

\(3^y+5=z^3-2^x\)ですが、z^3も2^xも32の倍数であることがわかっているので不適です。

\(y=4k+3\)のとき
\[3^{4k+3}+5=3^3(3^{4k}-1)+3^3+5\]
ここで
\[{\rm ord} _2 3^3(3^{4k}-1)=4+k, {\rm ord} _2 3^3+5=5\]
より、
\[
{\rm ord}_2 (3^y+5) = \begin{cases}
4 & ({\rm ord}_2 k=0) \\
5 & ({\rm ord}_2 k\ge 2) \\
6以上 & ({\rm ord}_2 k = 1) \\
\end{cases}
\]
となります。

しかし\(y=4k+1\)の場合と同様オーダーは5以上でないといけません。
じつはもうこの時点で\(y\)のmod 16がわかっています。