数学徘徊記

自由な数学ブログ。

反転幾何まとめ

この記事では,反転幾何とその構図について解説しています.
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反転とは? & 反転の重要な性質

mathtrain.jp
この記事は,反転の初歩について非常によくまとめられているので,そちらをご覧ください.

特に,

反転によって,
1−1:原点を通る直線は原点を通る直線にうつる
1−2:原点を通らない直線は原点を通る円にうつる
1−3:原点を通る円は原点を通らない直線にうつる
1−4:原点を通らない円は原点を通らない円にうつる

2:反転によって接する,接しないという状況は変わらない

3:反転円と直交する円は反転によって変わらない

これらの性質はとても重要なので,覚えておいてください.

また,これらの事実から,次の主張がわかります:

点\(A,B,C,D\)を反転した点\(A',B',C',D'\)が同一円周上または同一直線状にあることと,点\(A,B,C,D\)が同一円周上または同一直線状にあることは同値である.

そして,方べきの定理から,次の主張も容易にわかります:

点\(A,B\)を反転した点\(A',B'\)において,\(A,B,A',B'\)は同一円周上または同一直線状にある.

反転と構図

構図1

命題.点\(P\)から円\(\Gamma\)に接線が引かれていて,それぞれの円との接点をそれぞれ\(A,B\)とする.点\(A,B\)の中点を点\(M\)とするとき,点\(P\)を円\(\Gamma\)により反転すると点\(M\)に移る.

証明)円\(\Gamma\)の中心を\(O\)とする.点\(O,M,P\)が一直線上にあることは明らか.このとき,\(\angle OAP=\angle OMA=90^\circ\)より\(\triangle OAP \sim \triangle OMA\).よって\(OM:OA=OA:OP\)より\(OP\cdot OM=OA^2\)となり結果が従う.

構図2

命題.三角形\(ABC\)において,内接円を\(\omega\),外接円を\(\Omega\)とする.また,\(\omega\)と辺\(BC, CA, AB\)の接点をそれぞれ\(D, E, F\)とする.このとき,\(\Omega\)を\(\omega\)により反転すると,三角形\(DEF\)の九点円に移る.

これは構図1より明らかです.
九点円については九点円 - Wikipediaを参照してください.

構図3

命題.鋭角三角形ABCにおいて,頂点\(A, B, C\)から対辺におろした垂線の足を\(D, E, F\)とし,垂心を\(H\)とする.このとき,\(A\)を中心に半径\(\sqrt{AF\cdot AB}\)の円により反転すると,点\(B, D, C\)はそれぞれ点\(F, H, E\)に移る.逆も同様.

これは方べきの定理より明らかです.しかしこの反転,よく使うので覚えておいてください.

構図4

命題.鋭角三角形ABCにおいて,頂点\(A, B, C\)から対辺におろした垂線の足を\(D, E, F\)とし,垂心を\(H\)とする.このとき,\(H\)を中心に半径\(\sqrt{HA\cdot HB}\)の円により反転して,\(H\)を中心に対称移動すると,点\(A, B, C\)はそれぞれ点\(D, E, F\)に移る.逆も同様.

前の構図とほとんど同じです.これもよく使います.

反転の感覚

反転したくなる問題

  • 円が多い
  • 円の中心を通る円が出てくる
  • 円がある一点をむっちゃ通っている
  • 円どうしが接する
  • 垂心とか垂線の足とか
  • 内接円と外接円

反転しにくい問題

  • 円よりも直線が多い
  • 中点がたくさんあるなど,辺の長さの条件が多い

それと

「今ある円で反転する」という固定概念は捨ててください.どちらかといえば中心点が本質なので「ここでなんか反転したらよさそうだぜ!」という感じです.感覚です.

例題

問題

JJMO本選 2017-5
鋭角三角形\(ABC\)があり, その垂心を\(H\)とする. 3点\(A,B,C\)から対辺におろした垂線の足をそれぞれ\(D,E,F\)とする. 三角形\(ACD\)の外接円と線分\(BE\)の交点を\(P\), 三角形\(ABD\)の外接円と線分\(CF\)の交点を\(Q\)とする. また, 三角形\(ABH\)の外接円と線分\(DF\)の交点を\(S\), 三角形\(AC H\)の外接円と線分\(DE\)の交点を\(T\)とする. このとき, 4点\(P,Q,S,T\)は同一円周上にあることを示せ.
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思考過程

めちゃくちゃ点\(A\)を通っている.\(A\)で反転したみ.
特に反転たらまずそうな条件とかないし,\(A\)で反転しよう.構図3も使える.
まず\(P\)を反転しよう.すると「直線\(HE\)と三角形\(AF C\)の外接円の交点」…?
おい!それってYO!点\(P\)じゃんか!
つまり点\(P\)は反転で不動なので,反転する円上にあるんだな.
次に点\(Q, S, T\)について… ってか全部反転で不動じゃないか!
で示すべきことが「 4点\(P,Q,S,T\)は同一円周上にあることを示せ」…てか全部反転する円にあるってことがわかってる!よっしゃ!

練習問題

簡単な順になるようにしています(自分の主観が大きいのでそこはご了承を)
JMO系多くてごめんなさい…
また見つけ次第追加します

JMO予選 2013-8
凸四角形\(ABCD\)があり,\(AC\)と\(BD\)が点\(X\)で直交していて,\(AX=5,BX=6,CX=20\)が成り立っている.\(A\)を中心とし\(AX\)を半径とする円,\(B\)を中心とし\(BX\)を半径とする円,\(C\)を中心とし\(CX\)を半径とする円,\(D\)を中心とし\(DX\)を半径とする円をそれぞれ\(C_1,C_2,C_3,C_4\)とする.4つの円\(C_1,C_2,C_3,C_4\)すべてに接する円が存在するとき,\(DX\)を求めよ.
ただし,\(YZ\)で線分\(YZ\)の長さを表すものとする.

Korea National Olympiad 2014-3
円\(O\)と,その直径ではない弦\(AB\)がある.\(A,B\)それぞれでの\(O\)の接線は点\(C\)で交わっている.線分\(AC,BC\)の中点をそれぞれ\(M,N\)とする.\(C\)を通り,\(O\)に外接する円が直線\(MN\)と点\(P,Q\)で交わっている.このとき,\(\angle PCQ = \angle CAB\)を示せ.

EGMO 2016-4
半径の等しい2つの円\(\omega_1, \omega_2\)が異なる点\(X_1,X_2\)で交わっている.円\(\omega\)は\(\omega_1\)と点\(T_1\)で外接し,\(\omega_2\)と点\(T_2\)で内接する.このとき,直線\(X_1T_1,X_2T_2\)は\(\omega\)上の点で交わることを示せ.

Iran MO 1996
直径\(AB\),中心\(O\)の円\(\omega\)上に点\(C, D\)が,直線\(AB\)上に点\(M\)があり,\(MA>MB\),\(MC>MD\)を満たしている.三角形\(OAC, OBD\)の外接円の交点のうち点\(O\)でないほうを\(K\)とおく.このとき\(\angle MKO=90^\circ\)を示せ.

Russian MO 2009
三角形\(ABC\)において,外接円を\(\Omega\),\(\angle BAC\)の二等分線と辺\(BC\)の交点を\(D\)とする.また,直線\(AD\)と\(\Omega\)の交点のうち,\(A\)でないほうを\(E\)とする.また,\(DE\)を直径とする円と\(\Omega\)の交点のうち,\(E\)でないほうを\(P\)とする.辺\(BC\)の中点を\(M\)とするとき,\(\angle BAP=\angle MA C\)を示せ.

IMO 1996-2
三角形ABCの内部に,\(\angle APB-\angle ACB = \angle AP C- \angle ABC\)を満たすように点\(P\)をとる.三角形\(APB, AP C\)の内心をそれぞれ\(D,E\)とする.このとき,直線\(AP, BD, CE\)は一点で交わることを示せ.

JMO本選 2015-4
二等辺三角形でない三角形\(ABC\)があり,その外接円を\(\Gamma\),内心を\(I\)とおく.また,三角形\(ABC\)の内接円と辺\(AB,AC\)の接点をそれぞれ\(D,E\)とおく.三角形\(BEI\)の外接円と\(\Gamma\)の交点のうち\(B\)でない方を\(P\),三角形\(C DI\)の外接円と\(\Gamma\)の交点のうち\(C\)でない方を\(Q\)とするとき,4点\(D,E,P,Q\)は同一円周上にあることを示せ.

JMO予選 2011-11
四角形\(ABCD\)が,点\(O\)を中心とする円に外接しており,\(OA=5,OB=6,OC=7,OD=8\)が成立している.線分\(AC\)の中点を\(M\),線分\(BC\)の中点を\(N\)とするとき,\(OM:ON\)を求めよ.
ただし,\(XY\)で線分\(XY\)の長さを表すものとする.

imomathより
三角形\(ABC\)において,\(p=\cfrac{AB+BC+CA}{2}\)とする.直線\(BC\)上に,異なる2点\(E,F\)を\(AE=AF=p\)を満たすようにとる.このとき,三角形\(AEF\)の外接円は,三角形\(ABC\)の\(\angle A\)内の傍接円に接することを示せ.

構図
三角形\(ABC\)において,円\(\omega\)は,辺\(AB, AC\)と接し,三角形\(ABC\)の外接円と点\(P\)で内接している.また,\(\angle A\)内の傍接円と辺\(BC\)の接点を\(Q\)とする.このとき,\(\angle BAP= \angle CAQ\)を示せ.

Canada MO 2017-5
三角形\(ABC\)の内接円は,辺\(BC,CA,AB\)とそれぞれ点\(D,E,F\)で接している.\(\omega, \omega_1, \omega_2, \omega_3\)はそれぞれ三角形\(ABC, AEF, BDF, CDE\)の外接円とする.
(a) \(\omega_1, \omega_2, \omega_3\)はある一点を通ることを示せ.
(b) 直線\(PD, Q E, RF\)は一点で交わることを示せ.

自作
円\(\Omega\)に内接する四角形\(ABCD\)において,直線\(AB\)と\(CD\)は点\(E\)で,直線\(AD\)と\(BC\)は点\(F\)で交わっている.このとき,点\(E, F\)を通り,円\(\Omega\)に接する円は2つ存在するが,それらの半径は等しいことを示せ.

IMO 2015-3
鋭角三角形ABCは\(AB>AC\)をみたしている.三角形\(ABC\)の外接円を\(\Gamma\),垂心を\(H\),\(A\)から対辺におろした垂線の足を\(F\)とおく.また,辺\(BC\)の中点を\(M\)とおく.点\(Q\)を\(\Gamma\)上の点で\(\angle HQA=90^\circ\)をみたすものとし,点\(K\)を\(\Gamma\)上の点で\(\angle HKQ=90^\circ\)をみたすものとする.\(A,B,C,K,Q\)は相異なる点であり,この順に\(\Gamma\)上にあるものとする.
このとき,三角形\(KQH\)の外接円と三角形\(FKM\)の外接円はたがいに接することを示せ.

有名問題
三角形\(ABC\)において,外心を\(O\),\(\angle A\)内の傍心を\(I_A\)とする.また,\(\angle ABC, \angle ACB\)の二等分線は辺\(AC, AB\)とそれぞれ点\(D, E\)で交わっている.このとき\(DE\perp OI_A\)を示せ.

フォイエルバッハの定理
三角形の九点円と内接円は接することを示せ.(激難)

Twitterで話題となった謎解きの作者、ちーたーさんにインタビュー

Twitterで話題となったこの謎解き。


今回はこの謎解きの作者、「ちーたー」さんにインタビューしてきました!

だま(以下「だ」):こんにちは。
ちーたーさん(以下「ち」):こんにちは。
だ:今何年生ですか。
ち:中学3年生です。
だ:どんな学校にいますか。
ち:中高一貫の男子校に在籍しています。

謎解きについて

だ:謎解きはよく製作されるのですか?
ち:はい。私自身、謎解きを解くのが好きなので、良く製作しています。
だ:謎解きが好きなんですね。
ち:はい、大好きです。「今夜はナゾトレ」などの番組をよく見ています。
だ:「今夜はナゾトレ」ですか。
ち:はい。東大生が制作した謎解きや、視聴者から寄せられた謎解きが出題される番組です。実は、私の制作した謎解きが掲載されたこともあるんですよ。夏休みの終わりごろです。
だ:すごい…!話は変わりますが、脱出ゲームなどの参加型コンテンツに参加したことはありますか。
ち:実はまだ行ったことがありません。

この謎解きについて

だ:そういえば、Twitterに載せたあの謎解き、とても伸びましたね。私も解いてみましたが、とても面白い問題でした。
ち:ありがとうございます。私自身、伸びても30RT前後かなと思っていたのですが、ここまで伸びるとは思ってもいませんでした。
だ:この謎解きはどのように思いついたのでしょうか。
ち:まず、家の形と上向きの矢印の形が似ていることに注目しました。そこから、「いえ」と「うえ」だな、あ、「あいうえお」じゃん!と気づき、この謎解きを制作しました。実は、この謎解きのヒントになった謎解きがあるんです。
だ:というと?
ち:1月31日の「今夜はナゾトレ」の問題です。答えが「すみ」になるのですが、「?」が墨で書かれたような書体になっているんですね。そこから、この問題で「?」を青くするというアイデアに至りました。
だ:なるほど。今後もこのような謎解きをツイートしていく予定ですか。
ち:いい問題ができたら、ですね(笑)「今夜はナゾトレ」にもいろいろ謎解きを投稿しているので、使用済み問題をツイートしていくと思います。

数学

だ:Twitterのプロフィール欄に「数学」と書かれていましたが、数学も好きなんですか。
ち:はい。特に数学の問題を解くのが好きで、よく数学オリンピックなどの問題を解いています。
だ:なるほど。数学の大会には参加されていますか。
ち:はい。いくつかの数学の大会で、上位に入れたこともあります。
だ:すごいですね。ところで、印象に残っている好きな問題はありますか。
ち:算数の問題なのですが、「算数にチャレンジ!!」の第378回の問題です。http://www.sansu.org/used-html/index378.html
だ:ほう…。ありがとうございます。解いてみます。
だ:謎解きと数学、両方好きだということですが、共通するところはあるのでしょうか。
ち:はい。謎解きでも数学でも、必要な知識は少ないです。しかし、考えさせるような問題がたくさんできます。このようなところに私は惹かれます。
だ:なるほど。ありがとうございます。

だ:最後に言いたいことはありますか。
ち:重要なことなので言っておきます。「解答やヒント等のリプはお控えください」。
だ:本日はどうもありがとうございました。
ち:ありがとうございました。

数学オリンピック対策用のリンク集

忘備録。

過去問集や本も出版されているものの、
「それだけでは足りない!」「お金をかけずに対策したい!」
という人のためにも。

日本数学オリンピック入賞~国際数学オリンピック入賞くらいのレベルを想定。

英語で書かれたサイトも多いですが、少し言い回しや単語を覚えれば読むのはそんなに苦ではないので、ぜひ読んでみてほしいと思っています。

問題集

日本数学オリンピック委員会の出してるもの。
JMO・JJMO・IMO・APMO・EGMOなどの問題がある。
日本語。
国内大会・国際大会の問題

こちらはIMOのほうが出しているもの。
Shortlist (IMOの候補問題) などがある。
英語。
International Mathematical Olympiad

さまざまな国の様々な数学の大会の問題が載ってるすごいやつ。
しかも問題ごとにいろいろな人の解答が見れる。
英語。
Community - Art of Problem Solving

これは安藤哲哉さんというおそらく数オリ関係者が書いているもの。
少し前のJMO・APMO・IMOと、日本代表選抜の問題がある。
日本語。
のホームページにようこそ Tetsuya ANDO Home Page

学習用

いろいろまとまっている。
誰が書いているのかは知らないけど(フォーラムみたいな感じっぽい)。
英語。
IMOmath: Olympiad Training Materials

カナダの合宿に使われた教材が沢山あるサイト。
英語。
Canada IMO Training

競技数学で強い方たちのPDF。
どれも英語。
Math Olympiad training handouts
Math Olympiad teaching notes
Evan Chen • Olympiad
Math Competitions - Alexander Remorov
Yi Sun's Teaching Page

2018JJMO本選模試

ついに、、2018JJMO本選模試、、公開しました!!!

近年のJJMOの傾向を研究し、海外の数学オリンピックの問題から問題を選びました。

問題

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Dropbox:
www.dropbox.com

出典:

  1. Canada MO 2004-1
  2. IZhO 2015-1
  3. Iran MO 2nd 2013-4
  4. ITAMO 2011-5
  5. 出典不明

近年の傾向について

JJMOの本選は5題4時間、すべて記述式です。
例年、1番から5番の順に簡単な順に並んでいるようですが、絶対にそうなわけではないので、参考程度に思ったほうがいいです。
特にJJMOの場合顕著です。たとえば2017年のJJMOは、いつも激ムズのはずの5番に割と簡単な幾何問題が出ています。

では傾向を見ていきましょう。
代数:A、整数論:N、幾何:G、組合せ:C であらわしています。
2つの文字の場合、それは融合問題です。

'09 '10 '11 '12 '13 '14 '15 '16 '17
1 N CG G G A N G G C
2 G N N N CA A A C N
3 C A G C N G C A A
4 A G N G G C G G A
5 G C C C C N CG C G

こんな感じです(ミスがあったらごめんなさい。)

JJMOはまだまだ出来立ての大会なので、最初のほうは手探り状態でしょうか。
それをふまえて、傾向を見ていくこととします。

まず、2011年は例外ですが、1~4問目にC分野が出ていることがわかります。今年も出るでしょう。5番の難問として出る率も高いと思われます。
また近年、A分野の問題がよく出題されているようです(とくに2017年は2問も!)。今年は1~2番目に出る可能性が高いと思われます。わりとダークホース的に5番目にAが出るかもしれません。
G分野は毎年出ています。今年も出るんじゃないですか(適当)
N分野は、2017年で2年ぶりに出たようです。今年は出るのかわかりませんが、3~4番目に出てもおかしくないのかなあと思います。

というわけで、今年の予想はこれです。

'18 (予想)
1 A (C)
2 C (A)
3 G (N)
4 N (G)
5 C (A)

(かっこ外は本命、内は対抗)

これを踏まえて、AoPSから問題を引っ張り出してきました。
5番の「出典不明」っていう問題は、学校の先生が教えてくれた問題です。何かの本から引っ張り出した問題のようですが、その本がわからないので、誰かわかる人がいたら教えてください。

JMO夏季セミに参加した。

どうも、お久しぶりです。
2か月以上更新していませんでした。夏休みの後半から文化祭にかけて結構忙しく、なかなか記事を書く時間がありませんでした。

この記事では、夏休みの後半に行った夏季セミについて書こうと思います。

これは公式のHPです。
jmoss.jp

参加資格

まず、前回の日本数学オリンピックJMO)入賞者&日本ジュニア数学オリンピック(JJMO)銀賞・金賞受賞者&ヨーロッパ女子数学オリンピック(EGMO)日本代表には参加資格が与えられます。
また応募も行っています。応募者は、数学についての論文または数学書の感想を主催者に送り、そしてその内容によって参加者が選ばれます。

数オリのほうは結果がアレだったので、論文のほうで参加しました。

参加者は男子が多かったものの、4,5人女子の参加者がいました。また、むっちゃ数学ができる人ばかりです。

内容

ほんとに「数学漬け」みたいな日程です。夏季セミの主な内容はゼミです。

1日目:開会式(自己紹介など)・ゼミ
2日目:ゼミ
3日目:講義・ゼミ
4日目:講義・ゼミ
5日目:ゼミ
6日目:全体発表
7日目:閉会式

ゼミ

参加者は、主催者が用意した9冊の本から、ゼミをしたい本を選びます。本のレベルが3つに分かれているほか、洋書もあります。僕は今回、「The Symmetric Group」(Bruce E. Sagan 著)という本を選びました。
そして本ごとに9つのグループに分かれ、そのなかでゼミを行っていきます。本1冊ごとに1、2人のチューター(元国際数学五輪日本代表の大学生・大学院生)がついていて、その先輩方に支えられながらゼミをしていく感じです。
1日目からいきなりゼミが始まります。多い日なんかは9:00~12:00、13:00~18:00、20:00~21:00ずっとゼミだったりします。でもかなりのスピードで数学書を読んでいくので、時間がなく大変です。
いままでゼミをやったことがなかったので、最初のほうはかなりつらかったのを覚えています。しかしやっていくなかで新しく学んだ概念がイメージできるようになってきたり、発表に慣れてきたりしたのでよい体験だったと思っています。

講義

中高生にもわかるレベルの内容でいろいろ面白い話をしてくれるので面白いです。結構発展的な話をしてくれます。

全体発表

ゼミの総まとめとして、ゼミで勉強した内容を夏季セミ参加者全員に発表します。時間は30分とかなり短いので簡潔する必要があり、準備が大変です。

深夜

ゼミが終わった後はほとんどの人が遊びます(完徹勢も何人かいます)。もちろんチューターも参加してです。遊びの内容は様々ですが、カードゲームが多かったと思います。戦略が必要なゲームが多かった印象。本当に楽しかったです。

感想

本当に楽しかったです。ゼミを通してかなり学んだし、またさまざまな数学好きの中高生と知り合え、とてもいい時間を過ごせました。
絶対来年も参加したい!!

数学甲子園奮闘記

メンバー構成

高2が1人、高1が3人、中3が1人の全部で5人の構成です。 友達に誘われて数学甲子園に参加しました。

予選

予選は個人戦なので、チームでも「対策は個人でやってて」みたいな感じでした。 まあ予選通過できてよかったです。後でわかったことなんですが、チームの平均点は本線通過者の平均点とほぼ同じだったので、真ん中くらいでした。

Math Create

Math Create 対策で、一回90分で問題を作ろうとしてみたのですがほとんど不可能なことがわかったので、事前に問題を作ろうということになりました。 そして Math Create 本番。お題が「投」「連」「操」をすべて使う、という謎なお題だったため苦戦しましたが、なんとか事前に作った問題を少し変えてお題に沿う問題を作りました。 結果発表のときに分かったのですが、問題は高評価だったらしいです。

Math Battle

役割分担も決めて、対策も過去問を解くなどしてやったのですが、やっぱり実力が足りなかったのですかね、あまりいい感じではありませんでした。 これは結果発表のときに分かったのですが、Math Battle の自チームの得点は120/180点。1~3位のチームは150点取っていたので、さすがにここで差をつけられました。

Math Live

Math Create がよかったので、ギリギリですがなんとか決勝に進出。プレゼンの練習をしてきたので、プレゼンはうまくいきました。しかし質疑応答がうまくいかなかったな…という感じです。もっとチームで質疑応答対策をすべきだったと思います。

結果

4位入賞でした。いやー、微妙ですね。メダルは取りたかったなー。しかし入賞できてよかったと思います。来年は優勝を目指して頑張りたいと思います。

傍心の有名な難問

お久しぶりです. 約1か月半ぶりの更新でしょうか. 今回の内容は初等幾何です.

曲紹介

たけのこ赤軍さんのブログ
o-v-e-r-h-e-a-t.hatenablog.com
ならい, 曲紹介を.
(続けてほしいかどうかはまた聞きます)
この記事はこの曲を聴きながら読むのがオススメです:

問題

有名な平面幾何の難問として, 次のようなものがあります.
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図において, \(O\)は\(\triangle ABC\)の外心, \(I_A\)は角\(A\)内の傍心とする.
このとき, \(EF \perp OI_A\)を証明せよ.

問題自体はシンプルですが, かなりの難問です. まず, 結ぶ線が特殊ですね. 点\(E,F\)を結ぶのは考えづらいし, ましてや外心と傍心を結ぶなんてやばそうです.

僕は, この問題が難しいとうわさで聞いていたので解こうとしたのですが全然わかりませんでした. 手も足も出ないような状況です.

しかし少し時がたち, 何か幾何の問題を作ろうと思っていろいろ図形を描いていったら, たまたまこの問題が解けてしまいました.

今回はその証明を書こうと思っています.

準備

この証明を理解するには, 円による反転の知識(初歩)とオイラー線の知識(初歩)が必要なので, まず解説します.

反転

そもそも反転とは?ということについてはこの記事を見てください.
反転幾何の基礎 | 高校数学の美しい物語

またこのブログでは, この記事の事実2を使います.
円に内接もするし外接もする四角形 - 数学徘徊記

オイラー

この記事では,
「三角形の外心, 重心, 九点円の中心は同一直線上にある」
という事実を使います. この直線はオイラー線と呼ばれます.
ちょうどいい練習問題なので, 解いてみてください.
オイラー線はこのほかにも垂心などいろいろな点を通りますがここでは使いません.
オイラー線 - Wikipedia

証明

準備が終わったので, 証明に移りましょう. 証明は主に3ステップです.
まず, 直線\(OI_A\)がある三角形のオイラー線になることを示します.
つぎに, 点\(O\)から直線\(EF\)に下した垂線の足を\(H\)とし, \(HI_A\)が同じオイラー線となることを示します.
最後に, \(EF\perp OI_A\)を示します.

※注意
多少の行間がありますが, どれもそんなに難しくないようにしています.

ステップ1

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\(I_A\)を中心とする\(\triangle ABC\)の傍心を\(\Gamma\)とおきます. ここから, 対象\(X\)を円\(\Gamma\)に対して反転させたものを\(X'\)と表すことにします. また, これからは円\(\Gamma\)でしか反転しないので, 「円\(\Gamma\)で」という言葉を省略します.
\(\triangle ABC\)の外接円\(\Omega\)を反転させてみましょう(これを\(\Omega'\)とする). すると\(\triangle A'B'C'\)の外接円となります.
点\(A',B',C'\)はそれぞれ辺{QR,RP,PQ}の中点となるので, \(\Omega'\)は\(\triangle PQR\)の九点円となります.
\(\Omega'\)の中心を\(N\)とすると, 点\(O,N,I_A\)が同一直線上にあることはすぐわかります(円の対称性)(点\(O\)は反転で点\(N\)に移されることではないのに注意).
また, \(I_A\)は\(\triangle PQR\)にとって外心となるため, 直線\(OI_A\)は\(\triangle PQR\)のオイラー線となります.

ステップ2

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点\(O\)から直線\(EF\)に下した垂線の足を\(H\)とします.
ここで, \(EI_A\)を直径とする円を\(\omega_1\), \(FI_A\)を直径とする円を\(\omega_2\)とすると, これらは点\(H\)を通ります. すなわち, 点\(H\)は\(\omega_1\)と\(\omega_2\)の交点の一つと考えられます.
また\(\angle EBI_A=\angle EQI_A=\angle FCI_A=\angle FRI_A=90^\circ \)より, \(\omega_1\)は点\(B,Q\)を, \(\omega_2\)は点\(C,R\)を通ります.
\(\omega_1, \omega_2\)を反転させてみましょう. これらは点\(I_A\)(反転の中心)を通るので, 反転させたら直線となります.
また点\(B,C\)は反転させると点\(B',C'\)に移り, また点\(Q,R\)は円\(\Gamma\)上にあるため反転しても動きません. そのため, \(\omega_1, \omega_2\)はそれぞれ直線\(B'Q,C'R\)に移ります.
直線\(B'Q,C'R\)は\(\triangle PQR\)にとって中線となるため, それらの交点を\(G\)とおくと, \(G\)は\(\triangle PQR\)の重心となります.
点\(H\)は反転すると点\(G\)に移るため, 点\(H,G,I_A\)は同一直線上にあります. 直線\(GI_A\)は\(\triangle PQR\)にとってオイラー線となるので, 直線\(HI_A\)は\(\triangle PQR\)のオイラー線となります.

ステップ3

ここまでできれば後は簡単です. 定義より\(EF\perp OH\)であり, また直線\(OH\)と\(OI_A\)はどちらも\(\triangle PQR\)のオイラー線となるから一致するので, \(EF\perp OI_A\)が示されました.

感想

いやあ, 長かったですね. ここでは反転が大活躍しました. またオイラー線も一つの決め手ですね.
直線\(OI_A\)というわかりにくい対象を, \(\triangle PQR\)のオイラー線と言い換えることで, 「オイラー線」といういろんな点を通ってくれてうれしい対象に変えられるかどうかが一番の決め手でした.

この問題の初等的な解法のなかで, 一番単純なものだという自信があるのですが, どうでしょうか?
(ほら, そこ, 重心座標とか言わない. )