円に内接もするし外接もする四角形

円に内接する四角形ってありますよね。
よく図形の問題を解いていると出てきます。

逆に、円に外接する四角形っていうのもありますよね。
こちらはあまり問題では見かけませんが。確かにあります。

では、
「円に内接もするし外接もする四角形」
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とはどのようなものなんでしょう？
正方形とかそうだけど、一般的には？

この問題について考えるため、いくつか準備をします。

準備

円の「反転」という操作を使います。
これについてはここでは詳しく述べませんが、このサイトにある程度かかれています。
mathtrain.jp

ここで使う反転の性質は
「反転の中心を通らない円を反転させると円になる」
というものです。
これから、
「点$A,B,C,D$を反転させた点$A',B',C',D'$が同一円周上にあり、その円が反転の中心を通らないことと、点$A,B,C,D$が同一円周上にあり、その円が反転の中心を通らないことは同値である。」　…事実1
ということもわかります。

また、次の性質も成り立ちます。
「点$P$から円$\Gamma$に接線が引かれていて、それぞれの円との接点をそれぞれ$A,B$とする。点$A,B$の中点を点$M$とするとき、点$P$を反転させると点$M$に移る。」　…事実2
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証明
円$\Gamma$の中心を$O$とする。点$O,M,P$が一直線上にあることは明らか。このとき、$\angle OAP=\angle OMA=90^\circ$より$\triangle OAP \sim \triangle OMA$。よって$OM:OA=OA:OP$より$OP\cdot OM=OA^2$となり結果が従う。

そして、次ですが、反転とは関係がありませんが四角形についてこの性質が成り立ちます（よく知られた事実です）。
「四角形のそれぞれの辺の中点を結ぶと平行四辺形ができる。」　…事実3
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証明は略しますが、中点連結定理で簡単に証明できます。（図参照）

では、円に内接もするし外接もする四角形について考えていきましょう。

四角形$ABCD$が円$\Gamma$に外接していると仮定します。
そして辺$AB,BC,CD,DA$と円$\Gamma$の接点をそれぞれ$P,Q,R,S$とします。
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すると四角形$PQRS$ができますね。
辺 ${SP,PQ,QR,RS}$ の中点をそれぞれ$A',B',C',D'$とします。すると、点$A',B',C',D'$は点$A,B,C,D$を反転させた点となります。これは事実2からわかります。
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