数学徘徊記

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反転幾何まとめ

この記事では,反転幾何とその構図について解説しています.
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反転とは? & 反転の重要な性質

mathtrain.jp
この記事は,反転の初歩について非常によくまとめられているので,そちらをご覧ください.

特に,

反転によって,
1−1:原点を通る直線は原点を通る直線にうつる
1−2:原点を通らない直線は原点を通る円にうつる
1−3:原点を通る円は原点を通らない直線にうつる
1−4:原点を通らない円は原点を通らない円にうつる

2:反転によって接する,接しないという状況は変わらない

3:反転円と直交する円は反転によって変わらない

これらの性質はとても重要なので,覚えておいてください.

また,これらの事実から,次の主張がわかります:

点\(A,B,C,D\)を反転した点\(A',B',C',D'\)が同一円周上または同一直線状にあることと,点\(A,B,C,D\)が同一円周上または同一直線状にあることは同値である.

そして,方べきの定理から,次の主張も容易にわかります:

点\(A,B\)を反転した点\(A',B'\)において,\(A,B,A',B'\)は同一円周上または同一直線状にある.

反転と構図

構図1

命題.点\(P\)から円\(\Gamma\)に接線が引かれていて,それぞれの円との接点をそれぞれ\(A,B\)とする.点\(A,B\)の中点を点\(M\)とするとき,点\(P\)を円\(\Gamma\)により反転すると点\(M\)に移る.

証明)円\(\Gamma\)の中心を\(O\)とする.点\(O,M,P\)が一直線上にあることは明らか.このとき,\(\angle OAP=\angle OMA=90^\circ\)より\(\triangle OAP \sim \triangle OMA\).よって\(OM:OA=OA:OP\)より\(OP\cdot OM=OA^2\)となり結果が従う.

構図2

命題.三角形\(ABC\)において,内接円を\(\omega\),外接円を\(\Omega\)とする.また,\(\omega\)と辺\(BC, CA, AB\)の接点をそれぞれ\(D, E, F\)とする.このとき,\(\Omega\)を\(\omega\)により反転すると,三角形\(DEF\)の九点円に移る.

これは構図1より明らかです.
九点円については九点円 - Wikipediaを参照してください.

構図3

命題.鋭角三角形ABCにおいて,頂点\(A, B, C\)から対辺におろした垂線の足を\(D, E, F\)とし,垂心を\(H\)とする.このとき,\(A\)を中心に半径\(\sqrt{AF\cdot AB}\)の円により反転すると,点\(B, D, C\)はそれぞれ点\(F, H, E\)に移る.逆も同様.

これは方べきの定理より明らかです.しかしこの反転,よく使うので覚えておいてください.

構図4

命題.鋭角三角形ABCにおいて,頂点\(A, B, C\)から対辺におろした垂線の足を\(D, E, F\)とし,垂心を\(H\)とする.このとき,\(H\)を中心に半径\(\sqrt{HA\cdot HB}\)の円により反転して,\(H\)を中心に対称移動すると,点\(A, B, C\)はそれぞれ点\(D, E, F\)に移る.逆も同様.

前の構図とほとんど同じです.これもよく使います.

反転の感覚

反転したくなる問題

  • 円が多い
  • 円の中心を通る円が出てくる
  • 円がある一点をむっちゃ通っている
  • 円どうしが接する
  • 垂心とか垂線の足とか
  • 内接円と外接円

反転しにくい問題

  • 円よりも直線が多い
  • 中点がたくさんあるなど,辺の長さの条件が多い

それと

「今ある円で反転する」という固定概念は捨ててください.どちらかといえば中心点が本質なので「ここでなんか反転したらよさそうだぜ!」という感じです.感覚です.

例題

問題

JJMO本選 2017-5
鋭角三角形\(ABC\)があり, その垂心を\(H\)とする. 3点\(A,B,C\)から対辺におろした垂線の足をそれぞれ\(D,E,F\)とする. 三角形\(ACD\)の外接円と線分\(BE\)の交点を\(P\), 三角形\(ABD\)の外接円と線分\(CF\)の交点を\(Q\)とする. また, 三角形\(ABH\)の外接円と線分\(DF\)の交点を\(S\), 三角形\(AC H\)の外接円と線分\(DE\)の交点を\(T\)とする. このとき, 4点\(P,Q,S,T\)は同一円周上にあることを示せ.
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思考過程

めちゃくちゃ点\(A\)を通っている.\(A\)で反転したみ.
特に反転たらまずそうな条件とかないし,\(A\)で反転しよう.構図3も使える.
まず\(P\)を反転しよう.すると「直線\(HE\)と三角形\(AF C\)の外接円の交点」…?
おい!それってYO!点\(P\)じゃんか!
つまり点\(P\)は反転で不動なので,反転する円上にあるんだな.
次に点\(Q, S, T\)について… ってか全部反転で不動じゃないか!
で示すべきことが「 4点\(P,Q,S,T\)は同一円周上にあることを示せ」…てか全部反転する円にあるってことがわかってる!よっしゃ!

練習問題

簡単な順になるようにしています(自分の主観が大きいのでそこはご了承を)
JMO系多くてごめんなさい…
また見つけ次第追加します

JMO予選 2013-8
凸四角形\(ABCD\)があり,\(AC\)と\(BD\)が点\(X\)で直交していて,\(AX=5,BX=6,CX=20\)が成り立っている.\(A\)を中心とし\(AX\)を半径とする円,\(B\)を中心とし\(BX\)を半径とする円,\(C\)を中心とし\(CX\)を半径とする円,\(D\)を中心とし\(DX\)を半径とする円をそれぞれ\(C_1,C_2,C_3,C_4\)とする.4つの円\(C_1,C_2,C_3,C_4\)すべてに接する円が存在するとき,\(DX\)を求めよ.
ただし,\(YZ\)で線分\(YZ\)の長さを表すものとする.

Korea National Olympiad 2014-3
円\(O\)と,その直径ではない弦\(AB\)がある.\(A,B\)それぞれでの\(O\)の接線は点\(C\)で交わっている.線分\(AC,BC\)の中点をそれぞれ\(M,N\)とする.\(C\)を通り,\(O\)に外接する円が直線\(MN\)と点\(P,Q\)で交わっている.このとき,\(\angle PCQ = \angle CAB\)を示せ.

EGMO 2016-4
半径の等しい2つの円\(\omega_1, \omega_2\)が異なる点\(X_1,X_2\)で交わっている.円\(\omega\)は\(\omega_1\)と点\(T_1\)で外接し,\(\omega_2\)と点\(T_2\)で内接する.このとき,直線\(X_1T_1,X_2T_2\)は\(\omega\)上の点で交わることを示せ.

Iran MO 1996(注:2018/02/01 問題に不備があったため修正しました)
直径\(AB\),中心\(O\)の半円\(\omega\)上に点\(C, D\)が,直線\(AB\)上に点\(M\)がある.そして点\(M, C, D\)は一直線上にあり,\(MA>MB\),\(MC>MD\)を満たしている.三角形\(OAC, OBD\)の外接円の交点のうち点\(O\)でないほうを\(K\)とおく.このとき\(\angle MKO=90^\circ\)を示せ.

Russian MO 2009
三角形\(ABC\)において,外接円を\(\Omega\),\(\angle BAC\)の二等分線と辺\(BC\)の交点を\(D\)とする.また,直線\(AD\)と\(\Omega\)の交点のうち,\(A\)でないほうを\(E\)とする.また,\(DE\)を直径とする円と\(\Omega\)の交点のうち,\(E\)でないほうを\(P\)とする.辺\(BC\)の中点を\(M\)とするとき,\(\angle BAP=\angle MA C\)を示せ.

IMO 1996-2
三角形ABCの内部に,\(\angle APB-\angle ACB = \angle AP C- \angle ABC\)を満たすように点\(P\)をとる.三角形\(APB, AP C\)の内心をそれぞれ\(D,E\)とする.このとき,直線\(AP, BD, CE\)は一点で交わることを示せ.

JMO本選 2015-4
二等辺三角形でない三角形\(ABC\)があり,その外接円を\(\Gamma\),内心を\(I\)とおく.また,三角形\(ABC\)の内接円と辺\(AB,AC\)の接点をそれぞれ\(D,E\)とおく.三角形\(BEI\)の外接円と\(\Gamma\)の交点のうち\(B\)でない方を\(P\),三角形\(C DI\)の外接円と\(\Gamma\)の交点のうち\(C\)でない方を\(Q\)とするとき,4点\(D,E,P,Q\)は同一円周上にあることを示せ.

JMO予選 2011-11
四角形\(ABCD\)が,点\(O\)を中心とする円に外接しており,\(OA=5,OB=6,OC=7,OD=8\)が成立している.線分\(AC\)の中点を\(M\),線分\(BC\)の中点を\(N\)とするとき,\(OM:ON\)を求めよ.
ただし,\(XY\)で線分\(XY\)の長さを表すものとする.

imomathより
三角形\(ABC\)において,\(p=\cfrac{AB+BC+CA}{2}\)とする.直線\(BC\)上に,異なる2点\(E,F\)を\(AE=AF=p\)を満たすようにとる.このとき,三角形\(AEF\)の外接円は,三角形\(ABC\)の\(\angle A\)内の傍接円に接することを示せ.

構図
三角形\(ABC\)において,円\(\omega\)は,辺\(AB, AC\)と接し,三角形\(ABC\)の外接円と点\(P\)で内接している.また,\(\angle A\)内の傍接円と辺\(BC\)の接点を\(Q\)とする.このとき,\(\angle BAP= \angle CAQ\)を示せ.

Canada MO 2017-5
三角形\(ABC\)の内接円は,辺\(BC,CA,AB\)とそれぞれ点\(D,E,F\)で接している.\(\omega, \omega_1, \omega_2, \omega_3\)はそれぞれ三角形\(ABC, AEF, BDF, CDE\)の外接円とする.
(a) \(\omega_1, \omega_2, \omega_3\)はある一点を通ることを示せ.
(b) 直線\(PD, Q E, RF\)は一点で交わることを示せ.

自作
円\(\Omega\)に内接する四角形\(ABCD\)において,直線\(AB\)と\(CD\)は点\(E\)で,直線\(AD\)と\(BC\)は点\(F\)で交わっている.このとき,点\(E, F\)を通り,円\(\Omega\)に接する円は2つ存在するが,それらの半径は等しいことを示せ.

IMO 2015-3
鋭角三角形ABCは\(AB>AC\)をみたしている.三角形\(ABC\)の外接円を\(\Gamma\),垂心を\(H\),\(A\)から対辺におろした垂線の足を\(F\)とおく.また,辺\(BC\)の中点を\(M\)とおく.点\(Q\)を\(\Gamma\)上の点で\(\angle HQA=90^\circ\)をみたすものとし,点\(K\)を\(\Gamma\)上の点で\(\angle HKQ=90^\circ\)をみたすものとする.\(A,B,C,K,Q\)は相異なる点であり,この順に\(\Gamma\)上にあるものとする.
このとき,三角形\(KQH\)の外接円と三角形\(FKM\)の外接円はたがいに接することを示せ.

有名問題
三角形\(ABC\)において,外心を\(O\),\(\angle A\)内の傍心を\(I_A\)とする.また,\(\angle ABC, \angle ACB\)の二等分線は辺\(AC, AB\)とそれぞれ点\(D, E\)で交わっている.このとき\(DE\perp OI_A\)を示せ.

フォイエルバッハの定理
三角形の九点円と内接円は接することを示せ.(激難)