追記：この記事をリメイクしました．以下のリンクをご覧ください．
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この記事では，反転幾何とその構図について解説しています．
反転とは? & 反転の重要な性質
mathtrain.jp
この記事は，反転の初歩について非常によくまとめられているので，そちらをご覧ください．
特に，
反転によって，
1−1：原点を通る直線は原点を通る直線にうつる
1−2：原点を通らない直線は原点を通る円にうつる
1−3：原点を通る円は原点を通らない直線にうつる
1−4：原点を通らない円は原点を通らない円にうつる
2：反転によって接する，接しないという状況は変わらない
3：反転円と直交する円は反転によって変わらない
これらの性質はとても重要なので，覚えておいてください．
また，これらの事実から，次の主張がわかります：
点\(A,B,C,D\)を反転した点\(A',B',C',D'\)が同一円周上または同一直線状にあることと，点\(A,B,C,D\)が同一円周上または同一直線状にあることは同値である．
そして，方べきの定理から，次の主張も容易にわかります：
点\(A,B\)を反転した点\(A',B'\)において，\(A,B,A',B'\)は同一円周上または同一直線状にある．
反転と構図
構図1
命題．点\(P\)から円\(\Gamma\)に接線が引かれていて，それぞれの円との接点をそれぞれ\(A,B\)とする．点\(A,B\)の中点を点\(M\)とするとき，点\(P\)を円\(\Gamma\)により反転すると点\(M\)に移る．
証明）円\(\Gamma\)の中心を\(O\)とする．点\(O,M,P\)が一直線上にあることは明らか．このとき，\(\angle OAP=\angle OMA=90^\circ\)より\(\triangle OAP \sim \triangle OMA\)．よって\(OM:OA=OA:OP\)より\(OP\cdot OM=OA^2\)となり結果が従う．
構図2
命題．三角形\(ABC\)において，内接円を\(\omega\)，外接円を\(\Omega\)とする．また，\(\omega\)と辺\(BC, CA, AB\)の接点をそれぞれ\(D, E, F\)とする．このとき，\(\Omega\)を\(\omega\)により反転すると，三角形\(DEF\)の九点円に移る．
これは構図1より明らかです．
九点円については九点円 - Wikipediaを参照してください．
構図3
命題．鋭角三角形ABCにおいて，頂点\(A, B, C\)から対辺におろした垂線の足を\(D, E, F\)とし，垂心を\(H\)とする．このとき，\(A\)を中心に半径\(\sqrt{AF\cdot AB}\)の円により反転すると，点\(B, D, C\)はそれぞれ点\(F, H, E\)に移る．逆も同様．
これは方べきの定理より明らかです．しかしこの反転，よく使うので覚えておいてください．
構図4
命題．鋭角三角形ABCにおいて，頂点\(A, B, C\)から対辺におろした垂線の足を\(D, E, F\)とし，垂心を\(H\)とする．このとき，\(H\)を中心に半径\(\sqrt{HA\cdot HB}\)の円により反転して，\(H\)を中心に対称移動すると，点\(A, B, C\)はそれぞれ点\(D, E, F\)に移る．逆も同様．
前の構図とほとんど同じです．これもよく使います．
反転の感覚
反転したくなる問題
- 円が多い
- 円の中心を通る円が出てくる
- 円がある一点をむっちゃ通っている
- 円どうしが接する
- 垂心とか垂線の足とか
- 内接円と外接円
反転しにくい問題
- 円よりも直線が多い
- 中点がたくさんあるなど，辺の長さの条件が多い
それと
「今ある円で反転する」という固定概念は捨ててください．どちらかといえば中心点が本質なので「ここでなんか反転したらよさそうだぜ！」という感じです．感覚です．
例題
問題
JJMO本選 2017-5
鋭角三角形\(ABC\)があり, その垂心を\(H\)とする. 3点\(A,B,C\)から対辺におろした垂線の足をそれぞれ\(D,E,F\)とする. 三角形\(ACD\)の外接円と線分\(BE\)の交点を\(P\), 三角形\(ABD\)の外接円と線分\(CF\)の交点を\(Q\)とする. また, 三角形\(ABH\)の外接円と線分\(DF\)の交点を\(S\), 三角形\(AC H\)の外接円と線分\(DE\)の交点を\(T\)とする. このとき, 4点\(P,Q,S,T\)は同一円周上にあることを示せ.
思考過程
めちゃくちゃ点\(A\)を通っている．\(A\)で反転したみ．
特に反転たらまずそうな条件とかないし，\(A\)で反転しよう．構図3も使える．
まず\(P\)を反転しよう．すると「直線\(HE\)と三角形\(AF C\)の外接円の交点」…？
おい！それってYO！点\(P\)じゃんか！
つまり点\(P\)は反転で不動なので，反転する円上にあるんだな．
次に点\(Q, S, T\)について… ってか全部反転で不動じゃないか！
で示すべきことが「 4点\(P,Q,S,T\)は同一円周上にあることを示せ」…てか全部反転する円にあるってことがわかってる！よっしゃ！
練習問題
簡単な順になるようにしています（自分の主観が大きいのでそこはご了承を）
JMO系多くてごめんなさい…
また見つけ次第追加します
JMO予選 2013-8
凸四角形\(ABCD\)があり，\(AC\)と\(BD\)が点\(X\)で直交していて，\(AX=5,BX=6,CX=20\)が成り立っている．\(A\)を中心とし\(AX\)を半径とする円，\(B\)を中心とし\(BX\)を半径とする円，\(C\)を中心とし\(CX\)を半径とする円，\(D\)を中心とし\(DX\)を半径とする円をそれぞれ\(C_1,C_2,C_3,C_4\)とする．4つの円\(C_1,C_2,C_3,C_4\)すべてに接する円が存在するとき，\(DX\)を求めよ．
ただし，\(YZ\)で線分\(YZ\)の長さを表すものとする．
Korea National Olympiad 2014-3
円\(O\)と，その直径ではない弦\(AB\)がある．\(A,B\)それぞれでの\(O\)の接線は点\(C\)で交わっている．線分\(AC,BC\)の中点をそれぞれ\(M,N\)とする．\(C\)を通り，\(O\)に外接する円が直線\(MN\)と点\(P,Q\)で交わっている．このとき，\(\angle PCQ = \angle CAB\)を示せ．
EGMO 2016-4
半径の等しい2つの円\(\omega_1, \omega_2\)が異なる点\(X_1,X_2\)で交わっている．円\(\omega\)は\(\omega_1\)と点\(T_1\)で外接し，\(\omega_2\)と点\(T_2\)で内接する．このとき，直線\(X_1T_1,X_2T_2\)は\(\omega\)上の点で交わることを示せ．
Iran MO 1996（注：2018/02/01 問題に不備があったため修正しました）
直径\(AB\)，中心\(O\)の半円\(\omega\)上に点\(C, D\)が，直線\(AB\)上に点\(M\)がある．そして点\(M, C, D\)は一直線上にあり，\(MA>MB\)，\(MC>MD\)を満たしている．三角形\(OAC, OBD\)の外接円の交点のうち点\(O\)でないほうを\(K\)とおく．このとき\(\angle MKO=90^\circ\)を示せ．
Russian MO 2009
三角形\(ABC\)において，外接円を\(\Omega\)，\(\angle BAC\)の二等分線と辺\(BC\)の交点を\(D\)とする．また，直線\(AD\)と\(\Omega\)の交点のうち，\(A\)でないほうを\(E\)とする．また，\(DE\)を直径とする円と\(\Omega\)の交点のうち，\(E\)でないほうを\(P\)とする．辺\(BC\)の中点を\(M\)とするとき，\(\angle BAP=\angle MA C\)を示せ．
IMO 1996-2
三角形ABCの内部に，\(\angle APB-\angle ACB = \angle AP C- \angle ABC\)を満たすように点\(P\)をとる．三角形\(APB, AP C\)の内心をそれぞれ\(D,E\)とする．このとき，直線\(AP, BD, CE\)は一点で交わることを示せ．
JMO本選 2015-4
二等辺三角形でない三角形\(ABC\)があり，その外接円を\(\Gamma\)，内心を\(I\)とおく．また，三角形\(ABC\)の内接円と辺\(AB,AC\)の接点をそれぞれ\(D,E\)とおく．三角形\(BEI\)の外接円と\(\Gamma\)の交点のうち\(B\)でない方を\(P\)，三角形\(C DI\)の外接円と\(\Gamma\)の交点のうち\(C\)でない方を\(Q\)とするとき，4点\(D,E,P,Q\)は同一円周上にあることを示せ．
JMO予選 2011-11
四角形\(ABCD\)が，点\(O\)を中心とする円に外接しており，\(OA=5,OB=6,OC=7,OD=8\)が成立している．線分\(AC\)の中点を\(M\)，線分\(BC\)の中点を\(N\)とするとき，\(OM:ON\)を求めよ．
ただし，\(XY\)で線分\(XY\)の長さを表すものとする．
imomathより
三角形\(ABC\)において，\(p=\cfrac{AB+BC+CA}{2}\)とする．直線\(BC\)上に，異なる2点\(E,F\)を\(AE=AF=p\)を満たすようにとる．このとき，三角形\(AEF\)の外接円は，三角形\(ABC\)の\(\angle A\)内の傍接円に接することを示せ．
構図
三角形\(ABC\)において，円\(\omega\)は，辺\(AB, AC\)と接し，三角形\(ABC\)の外接円と点\(P\)で内接している．また，\(\angle A\)内の傍接円と辺\(BC\)の接点を\(Q\)とする．このとき，\(\angle BAP= \angle CAQ\)を示せ．
Canada MO 2017-5
三角形\(ABC\)の内接円は，辺\(BC,CA,AB\)とそれぞれ点\(D,E,F\)で接している．\(\omega, \omega_1, \omega_2, \omega_3\)はそれぞれ三角形\(ABC, AEF, BDF, CDE\)の外接円とする．
(a) \(\omega_1, \omega_2, \omega_3\)はある一点を通ることを示せ．
(b) 直線\(PD, Q E, RF\)は一点で交わることを示せ．
自作
円\(\Omega\)に内接する四角形\(ABCD\)において，直線\(AB\)と\(CD\)は点\(E\)で，直線\(AD\)と\(BC\)は点\(F\)で交わっている．このとき，点\(E, F\)を通り，円\(\Omega\)に接する円は2つ存在するが，それらの半径は等しいことを示せ．
IMO 2015-3
鋭角三角形ABCは\(AB>AC\)をみたしている．三角形\(ABC\)の外接円を\(\Gamma\)，垂心を\(H\)，\(A\)から対辺におろした垂線の足を\(F\)とおく．また，辺\(BC\)の中点を\(M\)とおく．点\(Q\)を\(\Gamma\)上の点で\(\angle HQA=90^\circ\)をみたすものとし，点\(K\)を\(\Gamma\)上の点で\(\angle HKQ=90^\circ\)をみたすものとする．\(A,B,C,K,Q\)は相異なる点であり，この順に\(\Gamma\)上にあるものとする．
このとき，三角形\(KQH\)の外接円と三角形\(FKM\)の外接円はたがいに接することを示せ．
有名問題
三角形\(ABC\)において，外心を\(O\)，\(\angle A\)内の傍心を\(I_A\)とする．また，\(\angle ABC, \angle ACB\)の二等分線は辺\(AC, AB\)とそれぞれ点\(D, E\)で交わっている．このとき\(DE\perp OI_A\)を示せ．
フォイエルバッハの定理
三角形の九点円と内接円は接することを示せ．（激難）
